Self-synchronization of Thomson self-oscillatory systems in discrete time

Full Text

Введение Известно, что в спектре дискретного во времени (ДВ) гармонического сигнала, частота которого превышает частоту Найквиста наблюдается эффект подмены частот [1]. При дискретизации аналоговых сигналов с целью их последующей цифровой обработки подмена частот устраняется путем применения противоподменных фильтров. Если же частоту превышает частота гармоники, генерируемой в нелинейной дискретной системе, то такая гармоника должна рассматриваться как подмененная. Влияние подмененных гармоник на динамику нелинейных ДВ-осцилляторов особенно велико, если они попадают в полосы пропускания резонансных систем. В настоящем сообщении анализируется эффект самосинхронизации томсоновской автоколебательной системы (АКС). Эффект наблюдается тогда, когда частота подмененной гармоники близка к частоте свободных автоколебаний. Внешний сигнал в этих условиях может «навязать» свою частоту автоколебательной системе, т. е. имеет место синхронизация (захват частоты) АКС [2]. Стремление подмененной гармоники захватить частоту основного сигнала приводит к тому, что в системе устанавливаются автоколебания с частотой удовлетворяющей условию где N - номер гармоники, а  - пилообразная функция преобразования: В частности, при а при или Предварительные результаты по теории самосинхронизации были опубликованы в [6]. Здесь дается детальный анализ эффекта. 1. Томсоновский автогенератор в дискретном времени В качестве объекта исследований примем предложенное в [3] дискретное отображение томсоновской АКС: (1) Здесь - нормированная на частоту дискретизации собственная частота контура;  - параметр глубины положительной обратной связи, а параметр диссипации определяется добротностью Q аналогового прототипа: . Функция нелинейности активного элемента АКС в дальнейшем аппроксимируется неполным кубическим полиномом . (2) Рассмотрим результаты имитационного эксперимента, в котором частота квазистатически меняется в окрестности Параметры АКС и На рис. 1 показана зависимость от мгновенной частоты автоколебаний , где фаза осцилляций выделяется методом аналитического сигнала. Зависимость типична для явления захвата частоты [2]: области с практически линейными связями при приближении к сменяются областями биений, а затем происходит захват на Но так как исследуемый автогенератор автономен, то речь в данном случае может идти о самозахвате (самосинхронизации). Амплитудный спектр осцилляций на рис. 2 позволяет выявить механизм самосинхронизации - это взаимодействие основной гармоники с подмененной третьей (3G). При смещении спектральной линии автоколебаний на частоте в направлении линия перемещается во встречном направлении. В итоге происходит самозахват частоты. Во втором порядке теории возмущений этот эффект с участием подмененной пятой гармоники наблюдается в окрестностях частот и 2. Анализ самосинхронизации методом ММА Динамику процесса самосинхронизации на частоте проанализируем в приближении метода медленно меняющихся амплитуд (ММА). Метод широко используется в непрерывном времени. На ДВ-осцилляторы вида (1) он распространен в статье [3]. Генерируемые осциллятором автоколебания представим в виде (3) где - комплексная амплитуда - медленная функция дискретного времени, связанная с действительными амплитудой и фазой соотношением Нелинейная функция (2) с аргументом (3) разлагается в ряд Фурье с комплексными амплитудами гармоник (4) Считая условием медленности приближенное выполнение равенств , для комплексной амплитуды автоколебаний (1) удается получить укороченное уравнение (5) где - обобщенная расстройка частот. Следует особо отметить, что при выводе (5) учитывается равенство отражающее эффект подмены частот и обеспечивающее появление слагаемого в укороченном уравнении. На рис. 3 результат решения уравнения (5) для действительной амплитуды при квазистатическом возрастании частоты представлен непрерывной линией; пунктирная показывает результат выделения огибающей осцилляций в отображении (1) с параметрами Близость графиков является аргументом в пользу применимости метода ММА. Рис. 4 иллюстрирует изменение мгновенной частоты автоколебаний в переходном процессе. На нем линиями 1-4 изображены графики временных зависимостей поправки на частоту для значений 0.252; 0.254 и 0.255. При этом мгновенная частота автоколебаний равна Зависимости 1 и 2, для которых с течением времени имеют место в режиме самозахвата частоты, в то время как стремящиеся к периодическим зависимости 3 и 4 наблюдаются в области биений. Комплексному уравнению (5) соответствует система из двух действительных уравнений для амплитуды и фазы (с учетом (4)): Ее удобно использовать для расчета значений амплитуды и фазы захваченных автоколебаний. В частности, из второго уравнения системы следует соотношение для фазы . Устойчивым автоколебаниям соответствуют интервалы значений где При этом Амплитуда определяется из нелинейного алгебраического уравнения которое имеет устойчивое решение (6) Расчет по формуле (6) дает график зависимости совпадающий с графиком амплитудной характеристики захваченных автоколебаний на рис. 3 (непрерывная линия; Условие неотрицательности второго подкоренного выражения в формуле (6) позволяет определить границы области самозахвата: . (7) Область самозахвата (язык Арнольда) выделена на рис. 5 темным цветом. Следует отметить, что полученные аналитические результаты справедливы в условиях применимости метода ММА. При значительных превышениях порога генерации (при эти условия нарушаются и, следовательно, зависимости (6) и (7) имеют лишь качественный характер. Заключение Рассмотренный здесь эффект самосинхронизации ДВ-автогенератора является спецификой нелинейной динамики в дискретном времени и не наблюдается во времени непрерывном. Дело в том, что в нелинейной ДВ-системе всегда присутствует сигнал тактовой частоты. Привязка частоты автоколебаний к субгармоникам тактовой частоты реализуется через механизм взаимодействия основной и подмененных гармоник автоколебаний. Это же взаимодействие при высоких уровнях возбуждения в неизохронных системах может приводить к хаотизации ДВ-автоколебаний [4]. Заметим также, что проведенный анализ полностью согласуется с выводами качественной теории динамических систем. Действительно, в режиме самозахвата предельный цикл дискретного отображения (1) представляет собой совокупность неподвижных точек с рациональным числом вращения По теореме о структурно устойчивых диффеоморфизмах окружности (см., например, [5]) такой предельный цикл устойчив по отношению к малым вариациям параметров отображения, в частности к вариациям частоты Зависимость имеет вид так называемой чертовой лестницы. При этом горизонтальная часть графика на рис. 1 отображает одну ступеньку лестницы.

About the authors

V. V Zaitsev

O. V Zaitsev

I. V Stulov

References

Supplementary files