Complex form of discrete mappings of Thomson self-oscillatory systems

Full Text

Введение Современная нелинейная динамика [1] рассматривает эволюцию динамических систем как в непрерывном (НВ), так и дискретном времени (ДВ). При этом в области дискретного времени нелинейная динамика смыкается с цифровой обработкой сигналов [2] и объекты ДВ-динамики могут служить основой алгоритмов обработки. Для выполнения этих функций необходим широкий круг ДВ-систем, обеспечивающий возможность выбора заданной характеристики преобразования сигналов. Поиск таких систем следует рассматривать в качестве одной из задач нелинейной динамики в дискретном времени. Как правило, объекты НВ-динамики являются результатом математической формализации физических (химических, биологических и т. д.) моделей реально существующих систем, в то время как ДВ-системы в большинстве случаев возникают в результате дискретизации времени в НВ-системах. Полученное таким образом разностное уравнение, следуя терминологии теории колебаний, можно обозначать как уравнение движения ДВ-системы, а как объект ДВ-динамики - дискретное отображение соответствующей НВ-системы. При этом способ дискретизации существенным образом влияет на форму дискретного отображения. Широко известен ряд способов построения дискретных отображений. В качественной теории динамических систем - это сечения Пуанкаре [1]. Для гамильтоновых систем с помощью введения в гамильтониан нелинейных дельта-воздействий строятся универсальное и стандартное отображения [3]. Рассматривается также и самый прямой способ дискретизации времени - конечно-разностная аппроксимация производных в дифференциальном уравнении движения системы. Но он не дает эффективных алгоритмов преобразований сигналов ДВ-системами [2]. В настоящей работе для построения дискретных отображений аналоговых автоколебательных систем (АКС) томсоновского типа использован метод структурного синтеза в сочетании с принципом сохранения временного отклика линейных резонаторов при переходе к дискретному времени. 1. Структурный синтез АКС В качестве основного прототипа в непрерывном времени выберем осциллятор с уравнением движения вида , (1) где и - собственная частота и добротность резонансного контура АКС; - параметр цепи обратной связи с нелинейностью усилителя - четной функцией входного сигнала. Формально при выполнении условий АКС (1) относится к классу томсоновских. При - это осциллятор Ван дер Поля. Используемый способ проектирования ДВ-осциллятора в определенном смысле можно назвать структурным, поскольку он опирается на представление о структурной схеме томсоновской АКС (1), как кольцевом соединении блоков «резонатор - нелинейный усилитель - обратная связь». Динамическую (инерционную) часть АКС (1) представляет резонансный контур с дифференциальным уравнением движения , (2) где - сигнал возбуждения. Контур (2) имеет импульсную характеристику . Ее дискретные временные отсчеты, взятые с интервалом определяют импульсную характеристику ДВ-резонатора: . (3) Здесь - собственная частота контура, измеряемая в единицах частоты дискретизации - параметр диссипации. Так как частотная характеристика ДВ-системы связана с ее импульсной характеристикой дискретным во времени преобразованием Фурье [2]: , то для (3), проведя вычисления, получим (4) Частотная характеристика (4) соответствует системе разностных уравнений движения вида (5) где - множитель поворота. Отметим, что при действительном сигнале осцилляции комплексно сопряжены по отношению к В автоколебательной системе с уравнением движения (1) роль сигнала возбуждения играет сигнал на выходе нелинейного усилителя, вход которого через обратную связь взаимодействует с выходом контура . (6) В этой записи введено обозначение для производной по безразмерному времени: С учетом связи (6) система разностных уравнений движения (5) для томсоновского ДВ-осциллятора принимает вид Сумма второго и третьего уравнений этой системы с учетом первого дает важное соотношение , указывающее на зависимость значения осциллирующей переменной в текущий момент дискретного времени n от значения переменной взятого в предыдущий момент Такая временная зависимость позволяет построить ДВ-осциллятор в форме итерируемого дискретного отображения вида , (7) где . (8) При этом для связи отсчетов и предлагается использовать выражение вида [4] . (9) Оно является точным для дискретных гармонических колебаний с частотой Как приближенное, предлагается распространить его и на квазигармонические автоколебания. С учетом (9) отображение (7) принимает вид (10) Сформированное таким образом нелинейное разностное уравнение (10) представляет собой комплексную форму дискретного отображения (уравнения движения) томсоновской АКС. 2. Метод ММА для ДВ-АКС Отображение (10) воспроизводит в дискретном времени основные характеристики томсоновской АКС (1). Это нетрудно показать цифровым анализом генерируемых по алгоритму (10) временных рядов, но мы воспользуемся здесь широко распространенным в теории нелинейных колебаний методом медленно меняющихся амплитуд (методом ММА) [5]. На ДВ-осцилляторы томсоновского типа метод ММА был распространен работах [6; 7]. Следуя им, генерируемый отображением (10) временной ряд (ДВ-автоколебания) представим в виде где - комплексная амплитуда автоколебаний; и - действительные амплитуда и фаза. Тогда первое из уравнений (10) можно записать как Нелинейную функцию (11) в правой части первого уравнения (10) в рамках метода ММА заменим первой гармоникой ряда Фурье: с комплексной амплитудой При этом использовано Фурье-разложение четной функции Отметим также, что в рамках используемой здесь методики ММА в нелинейности (11) считаем и Используя в (10) представленные разложения и проведя очевидные математические преобразования, получим (12) Последнее слагаемое здесь описывает высокочастотное воздействие (с периодом на медленный процесс изменения (с характерным временем релаксации комплексной амплитуды Пренебрегая этим воздействием, приходим к укороченному уравнению для комплексной амплитуды ДВ-автоколебаний (13) Полученное разностное уравнение (13) сопоставим с укороченным уравнением для комплексной амплитуды автоколебаний в исходной аналоговой модели АКС (1). Нетрудно показать, что для автоколебаний вида уравнение движения (1) методом ММА сводится к дифференциальному укороченному уравнению (14) При переходе к безразмерному времени уравнение (14) принимает вид (15) Учитывая разложение параметра диссипации высокодобротного контура в ряд по обратным степеням добротности , приходим к выводу о том, что разностное укороченное уравнение ДВ-АКС (13) реализует алгоритм Эйлера для укороченного уравнения (15) аналоговой АКС. Таким образом подтверждается сделанное нами ранее утверждение о том, что отображение (10) воспроизводят в дискретном времени основные динамические характеристики томсоновской АКС (1). 3. Некоторые результаты анализа динамики ДВ-АКС Приведем ряд результатов, полученных для дискретного отображения осциллятора Ван дер Поля. В этом случае функция нелинейности , а отображение (10) и его укороченное уравнение (13) принимают вид (16) (17) Здесь в (16) для упрощения записи введен эффективный параметр обратной связи в ДВ-системе: . На рис. 1 точками приведены отсчеты ДВ-автоколебаний генерируемых отображением (16) со значениями и Обратная связь с параметром включается на интервале времени Пунктирной линией на рисунке показан график временной зависимости амплитуды автоколебаний, рассчитанный по укороченному уравнению (17). Как видно из графиков, зависимость с хорошим приближением воспроизводит амплитуду автоколебаний. На рис. 2 график приведен вместе с графиком временной зависимости огибающей ДВ-автоколебаний выделенной методом аналитического сигнала с использованием дискретного преобразования Гильберта [2]. Зависимость кроме медленной кусочно-монотонной компоненты содержит компоненту, осциллирующую с частотой Она возникает из-за наличия третьей гармоники в спектре сигнала Заметим, что осциллирующая компонента комплексной огибающей также содержится в решении амплитудного уравнения (12). Такое решение в теории нелинейных колебаний носит название улучшенного первого приближения [8]. Амплитудный спектр на рис. 3, где символами обозначены линии k-ых гармоник, рассчитанный для анализируемой реализации автоколебаний, демонстрирует неустранимый эффект подмены частот в нелинейных ДВ-системах. При определенных условиях он приводит к существенным особенностям в динамике ДВ-АКС [9; 10]. 4. Генерация хаоса дискретным отображением осциллятора Ван дер Поля Ранее [11] отмечалось, что в ДВ-АКС, синтезированной по аналоговому прототипу - осциллятору Ван дер Поля, наблюдаются режимы хаотических автоколебаний. Они имеют место и в дискретном отображении (16), модифицированным следующим образом: (18) то есть введением параметра вместо в формулу (9) для дискретной аппроксимации скорости При отображение (18) эквивалентно уравнению движения ДВ-осциллятора Ван дер Поля из статьи [11]. На рис. 4 приведен усредненный амплитудный спектр автоколебаний, генерируемых отображением (18) с параметрами и Уширенная спектральная линия является одним из эвристических признаков хаоса. Подтверждением хаотического режима служит также имеющий ярко выраженную фрактальную структуру фазовый портрет дискретного отображения, представленный на рис. 5 в координатах Наряду с хаотическими автоколебаниями отображение генерирует и их компоненты и Степень корреляции компонент иллюстрирует взаимная корреляционная функция показанная на рис. 6. Заключение Представленная здесь новая форма дискретных отображений томсоновских осцилляторов расширяют круг объектов нелинейной динамики в дискретном времени, имеющих свойства аналоговых автоколебательных систем. Практические применения предложенных отображений весьма разнообразны - моделирование сигналов и систем, нелинейная фильтрация дискретных (цифровых) сигналов, защита информации (в режимах генерации динамического хаоса).

About the authors

V. V Zaitsev

O. V Zaitsev

A. N Shilin

References

Supplementary files