Synthesis of the refractive index profile of the optical fiber with the account of Kerr nonlinearity

Full Text

Введение C прогрессом техники и технологий фемтосекундных лазеров, позволяющих формировать ультракороткие оптические импульсы гигантской энергии, расширяется область применения таких лазеров [1-5]. С развитием их приложений еще более актуальной становится задача передачи по световоду импульсов большой мощности и формирования на его выходе импульсов с требуемыми параметрами [3-5]. При этом при передаче мощных фемтосекундных импульсов возникают дополнительные искажения, обусловленные изменениями профиля показателя преломления световода из-за нелинейности. Согласно [6-9] необратимые изменения показателя преломления оптических волокон из кварцевого стекла имеют место при превышении энергией импульса порога 0,1-2,0 мкДж, а лазерный пробой - величин около 4,0-10,0 мкДж. При длительности оптических импульсов порядка 10-100 фс их пиковая мощность достигает значений более 1-10 МВт при энергии значительно ниже порога лазерной модификации материала. При таких значениях мощности профиль показателя преломления световода существенно изменяется вследствие керровской нелинейности, что приводит к изменениям дисперсионных характеристик волоконного световода [10-12], а при определенных условиях и к нелинейному возбуждению мод высшего порядка и модовой нестабильности [13-16]. Другими словами, при передаче по волоконным световодам фемтосекундных импульсов большой мощности имеют место существенные изменения профиля показателя преломления световода с кубической нелинейностью при энергии импульсов ниже порога лазерной модификации кварцевого стекла, что приводит к дополнительным искажениям импульса при передаче по световоду в рабочих режимах функционирования лазера. Наиболее эффективным способом передачи импульсов в световоде при минимуме искажений является формирование квазисолитонного режима передачи. Это осуществляется либо за счет выбора параметров импульса при заданных характеристиках световода, либо за счет управления дисперсией при заданных параметрах импульса. В свою очередь, управление дисперсией может осуществляться либо за счет выбора профиля показателя преломления оптического волокна, либо на дисперсионных картах при последовательном включении оптических волокон, дисперсия которых имеет противоположные знаки [13; 17-18]. Вместо одного из оптических волокон (компенсирующего волокна) на дисперсионной карте может включаться фильтр с соответствующей фазовой характеристикой. Потенциальные возможности управления на дисперсионной карте для фемтосекундных импульсов большой мощности в диапазоне C рассмотрены, в частности, в [19; 20]. В предлагаемой работе исследуются возможности уменьшения искажений мощных фемтосекундных импульсов по волоконному световоду за счет выбора его профиля показателя преломления с учетом изменений профиля из-за кубической нелинейности материала световода. 1. Модель профиля показателя преломления и дисперсионные характеристики одномодового ступенчатого волоконного световода с кубической нелинейностью Рассмотрим одномодовый ступенчатый осесимметричный волоконный световод из плавленого кварцевого стекла, профиль показателя преломления которого без учета нелинейности описывается как: где - показатель преломления материала сердцевины; - показатель преломления материала оболочки; - радиус сердцевины; - радиальная координата. Профиль показателя преломления волоконного световода с кубической нелинейностью, учитывая зависимость показателя преломления материала от интенсивности оптического излучения вследствие керровской нелинейности [13], описывается формулой: где - интенсивность оптического излучения, - параметр керровской нелинейности, Соответственно, распределение вдоль радиальной координаты показателя преломления, взведенного во вторую степень, в таком световоде описывается следующим образом: (1) В [10] для слабонаправляющего ступенчатого кварцевого одномодового волоконного световода с осевой симметрией были теоретически исследованы изменения профиля показателя преломления за счет керровской нелинейности и обусловленные ими изменения дисперсионных характеристик. Задачу решали следующим образом. Подставили (1) в скалярное уравнение Гельмгольца, и, полагая при этом, что интенсивность оптического излучения равна квадрату напряженности поля, а членом второго порядка малости в (1) можно пренебречь, получили скалярное уравнение, которое решали численно. В [21] при тех же допущениях данную задачу решали методом приближения Гаусса [22]. Как и следовало ожидать, результаты, полученные в работах [10] и [21], хорошо согласуются между собой. При изменении мощности оптического излучения от 1 мВт до 200 кВт время задержки и хроматическая дисперсия моды изменяются незначительно, в отличие от постоянной распространения моды, изменения которой существенны. В [23] рассматриваемую задачу также решали методом приближения Гаусса, но с учетом всех составляющих формулы (1), включая и член второго порядка малости. Здесь, как и в [21], были получены приближенные аналитические выражения для дисперсионных характеристик. Как показал анализ, результаты вычислений по данным формулам достаточно хорошо согласуются с результатами, представленными в работах [10; 21] в диапазоне изменения мощности оптического излучения до 1 кВт. С увеличением мощности расхождение результатов, рассчитанных по формулам из [21] и [23] возрастает и уже при значениях мощности более 200 кВт становится достаточно большим. Это объясняется тем, что в области изменений эквивалентного радиуса пятна моды, где характеристическое уравнение имеет решение, вклад составляющей пропорциональной квадрату интенсивности оптического излучения с увеличением мощности становиться существенным. Отсюда следует вывод, что при анализе процессов распространения в световодах оптических импульсов большой мощности необходимо учитывать все составляющие формулы (1), описывающей квадрат показателя преломления среды с кубической нелинейностью. В противном случае, при увеличении мощности оптического излучения погрешности оценок дисперсионных характеристик одномодового волоконного световода с керровской нелинейностью могут быть велики. Следует отметить, что при заданном значении нормированной частоты с увеличением мощности оптического излучения, начиная с некоторого ее значения, имеет место рост скорости уменьшения радиуса пятна моды до тех пор, пока мощность не достигнет порогового значения, при превышении которого у характеристического уравнения нет решений, имеющих физический смысл. Как следствие, при достаточно больших значениях мощности фундаментальной моды в инфракрасной области при превышении некоторых пороговых значений длины волны условия распространения моды не выполняются. Для заданной конструкции световода каждому значению мощности соответствует свое пороговое значение длины волны. Очевидно, что данные ограничения обусловлены эффектом самофокусировки. 2. Аналитические выражения для дисперсионных характеристик одномодового волоконного световода с профилем произвольной формы и кубической нелинейностью Для синтеза профиля показателя преломления требуется решение прямой задачи для световода с произвольным профилем. В [24] было получено общее решение для произвольной линейно-поляризованной моды осесимметричного волоконного световода с произвольным профилем. Решение получено на основе совместного применения метода приближения Гаусса и метода стратификации [25; 26]. Были выведены аналитическое выражение для постоянной распространения моды и характеристическое уравнения в виде [24]: (2) (3) где - функция Лагерра - Гаусса, описывающая радиальное распределения поля моды азимутального порядка и радиального порядка m; - эквивалентный радиус пятна моды, м. Поле фундаментальной моды описывается следующим образом [22]: (4) Подставим (1) и (4) в (2), (3). В результате после некоторых преобразований, получаем аналитическое выражение для квадрата постоянной распространения и характеристическое уравнение для фундаментальной моды Формула для квадрата постоянной распространения имеет вид: (5) где - показатель преломления и внешний радиус i-го слоя, соответственно. Характеристическое уравнение принимает вид: (6) Из (5) и (6) получаем выражения для первой, второй и третьей производных для по возведенной во вторую степень постоянной распространения фундаментальной моды: (7) (8) (9) (10) Производные постоянной распространения определяются с учетом (7)-(9) из соотношений [27-28]: (11) (12) (13) Для определения дисперсионных характеристик моды воспользуемся известными формулами [29]: (14) где - время распространения; D - параметр хроматической дисперсии; S - параметр наклона дисперсионной характеристики; - хроматическая дисперсия первого порядка; - хроматическая дисперсия второго порядка; c - скорость света. 3. Синтез профиля показателя преломления волоконного световода для передачи импульсов большой мощности Формулы (6)-(11) позволяют рассчитывать дисперсионные характеристики, задавая профиль показателя преломления произвольной формы по точкам, что дает возможность синтезировать профиль, обеспечивающий наилучшие показатели для заданной целевой функции. Поиск оптимального для заданной целевой функции профиля осуществляли методом Нелдера - Мида [30; 31]. Для уменьшения числа переменных и снижения требований к вычислительным ресурсам искомые профили описывали набором примитивов, как предложено в работах [32; 33]. По завершении поиска для найденного профиля показателя преломления выполнялись расчеты спектральной зависимости хроматической дисперсии численным методом. Использовали предложенный в [34] метод смешанных конечных элементов, алгоритм реализации которого подробно изложен в [35]. При необходимости профиль корректировали и вычисления повторяли. Осуществляли поиск профиля, обеспечивающего в одномодовом оптическом волокне с заданным диаметром сердцевины на заданной длине волны при заданных параметрах оптического импульса квазисолитонный режим передачи. В этом случае целевую функцию записывали, учитывая условие формирования фундаментального временного солитона [13; 18], следующим образом: где - длительность и пиковая мощность оптического импульса, соответственно. В целях оценивания эффективности рассматриваемых подходов по завершении синтеза профиля моделировали распространение оптических импульсов в оптическом волокне с оптимизированным профилем. Результаты моделирования сопоставляли с результатами моделирования распространения оптических импульсов при таких же условиях в стандартном ступенчатом оптическом волокне. Для описания процесса нелинейного распространения фемтосекундных оптических импульсов в волоконном световоде как и в [36; 37] использовали нелинейное уравнение Шредингера: где - огибающая импульса; - площадь эффективного сечения моды; - параметр рассеяния Рамана. Поскольку рассматриваются относительно короткие метровые длины оптического волокна полагаем, что потерями можно пренебречь. Исключая также время задержки импульса, приводим это уравнение к виду: Уравнение решали численно методом расщепления по физическим процессам, достаточно подробно описанным в [37]. 4. Численные результаты Синтез профиля показателя преломления выполняли для передачи оптических импульсов длительностью 10 фс с пиковой мощностью 3 МВт на длине волны 1550 мкм по оптическому волокну с диаметром сердцевины 4,15 мкм и числовой апертурой 0,14. Оболочка волокна из чистого кварцевого плавленого стекла, а сердцевина - из кварцевого стекла легированного присадками. Спектральные характеристики показателя преломления легированного кварцевого стекла определяли, используя формулу Селмейера по методике, представленной в [38]. Параметр керровской нелинейности полагали равным [13; 29; 35], а параметр рассеяния Рамана принимали равным 3 фс [13; 36]. Моделировали распространение импульсов по оптическому волокну длиной 0,5 м. Полагали, что на вход волоконного световода оптический импульс поступает без чирпа. На рис. 1 приведен профиль показателя преломления стандартного одномодового оптического волокна с вышеуказанными характеристиками. На рис. 2 представлен профиль этого же оптического волокна при передаче по нему оптического излучения мощностью 3,0 МВт. На рис. 3 представлен оптимизированный для передачи импульсов оптического излучения с указанными выше характеристиками профиль показателя преломления, полученный по результатам процедуры синтеза. На рис. 4 демонстрируются нормированные импульсные отклики на выходах оптических волокон, стандартного ступенчатого и с синтезированным профилем, соответственно. Характер изменений оптических импульсов при распространении по световодам иллюстрируют рис. 5 и рис. 6, на которых представлены результаты моделирования для стандартного ступенчатого оптического волокна (рис. 5) и оптического волокна с синтезированным профилем (рис. 6). Сравнение результатов моделирования для ступенчатого световода и световода с синтезированным профилем, оптимизированного для передачи оптических импульсов с заданными параметрами демонстрирует возможность повышения качества передачи за счет выбора профиля. «Подгонка» профиля для передачи оптических импульсов с заданными параметрами позволяет как минимум уменьшить искажения формы импульса. В рассматриваемом примере при распространении по оптическому волокна с синтезированным профилем в отличие от ступенчатого световода не наблюдается «развала» оптического импульса на две части. Заключение По результатам работы можно сделать следующие выводы. 1. Представленные приближенные аналитические формулы для расчета дисперсионных характеристик световода с заданным профилем показателя преломления произвольной формы позволяют учитывать изменения профиля, обусловленные керровской нелинейностью, и, соответственно, использовать их для синтеза профиля волоконного световода для передачи оптических импульсов большой мощности. 2. Рассмотренный пример наглядно демонстрирует потенциальные возможности существенного уменьшения искажений оптических импульсов при распространении по волоконному световоду за счет выбора его профиля показателя преломления, согласованного с параметрами передаваемых импульсов. 3. Предложенная методика синтеза профиля показателя преломления волоконного световода с учетом керровской нелинейности позволяет находить профили оптических волокон с характеристиками, улучшенными с точки зрения передачи по ним оптических импульсов с заданными параметрами.

About the authors

V. A Burdin

A. V Bourdine

References

Supplementary files