К вопросу формирования шумов и помех в комплексном виде

Аннотация

В работе представлен новый подход, обеспечивающий решение проблемы «Амплитуда, фаза, частота», для моделирования в комплексном виде гауссова белого шума и сложных полигармонических помех, присутствующих в реальных каналах связи. Получены оценки необходимого числа компонент при формировании белого гауссова шума для достижения заданной точности его аппроксимации.

Полный текст

Введение В настоящее время проектирование и совершенствование современных радиотехнических систем (РТС) невозможно без применения математического моделирования, которое реализуется посредствам специального программного обеспечения [1; 2], позволяющего обеспечить снижение экономических затрат на прототипирование и создание готового продукта. Среди систем математического моделирования значимую роль играют те, которые осуществляют моделирование на уровне функциональных блоков реальных РТС. В таких системах актуальными являются вопросы, связанные с неискаженным определением параметров радиосигнала, что особенно важно на данный момент при существующей тенденции к работе РТС в динамическом режиме, то есть, когда съем информации происходит при наличии переходных процессов. Согласно работе [3] широко распространенные методы определения параметров радиосигнала, применяемые в указанных выше системах моделирования, в частности посредствам аналитического сигнала, основанного на преобразовании Гильберта, не позволяют получить неискаженной оценки его параметров, что требует поиска новых подходов к решению так называемой проблемы «Амплитуда, фаза, частота» (АФЧ) [4]. Новый подход в моделировании для безыскаженного определения параметров детерминированных сигналов при их передаче через сложный линейный радиотракт представлен в работе [3]. Однако, в любом канале связи реальной РТС присутствуют шум и помехи. Наиболее часто в качестве математической модели шума используется аддитивный белый гауссов шум. В тоже время воздействие множества мешающих абонентов, в частности для систем передачи информации, можно представить, как полигармоническую помеху. Несмотря на значительное число разработанных математических моделей шумов и помех, преобразованных линейными избирательными системами (ИС) и наблюдаемых на их выходах [5], сами модели построены на основе положений метода медленно меняющихся амплитуд [6] и согласно работе [3] не позволяют учитывать несимметричность амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик ИС, что приводит к недопустимым искажениям [4]. Таким образом, возникает необходимость поиска нового подхода моделирования белого гауссова шума и полигармонических помех в комплексной форме, обеспечивающего решение проблемы АФЧ и позволяющего развить метод, представленный в работе [3]. 1. Математическая модель комплексного белого гауссова шума Разрабатываемая в данной работе математическая модель комплексного белого гауссова шума должна обеспечивать решение проблемы АФЧ. Для этого шум должен исходно формироваться в комплексной форме, что следует из результатов работы [3]. Целесообразно для формирования комплексного белого гауссова шума использовать центральную предельную теорему (ЦПТ), а для оценки числа необходимых членов суммы случайных величин при использовании ЦПТ - теорему Берри - Эссеена [7]. В качестве элементов суммы r случайных величин (где - среднеквадратическое отклонение (СКО) функция распределения которой стремиться к функции распределения нормального закона целесообразно брать гармонические колебания, представленные в комплексной форме, то есть где - полная фаза, принимающая случайные значения. Задание элемента суммы в виде обеспечивает однозначную взаимосвязь между его действительной и мнимой частями. Поэтому в случае обеспечения выполнения ЦПТ для действительной части получаемой суммы, ее выполнение также будет обеспечено и для мнимой части, а следовательно и суммы случайных величин которую обозначим в виде искомого комплексного белого гауссова шума С учетом вышеизложенного выражение для формирования комплексного белого шума примет вид (1) На основании результатов работ [7; 8] и анализа действительной части в выражении (1) можно заключить, что для выполнения условий совместного применения ЦПТ и теоремы Берри - Эссеена для одинаково распределенных слагаемых требуется, чтобы была распределена по равномерному закону в диапазоне от до Тогда в выражении (1) и В этом случае определение числа элементов r в сумме (1) для формирования комплексного белого гауссова шума с заданной точностью D производится на основе неравенства Берри - Эссеена [7] (2) где - постоянная, наиболее точная оценка верхней границы, приведена в работе [9]. Преобразовав выражение (2) относительно r с учетом того, что получим выражение (3) где - операция округления в большую сторону. С использованием выражения (3) были построены зависимости, которые представлены на рис., позволяющие оценить требуемое число элементов r в сумме (1) в зависимости от требуемой точности При этом оценка моментов случайной величины для была произведена c помощью численного моделирования с объемом выборки в силу конечного объема реализуемой выборки, а постоянная C полагалась равной 0,4748. Из рис. следует, что число требуемых элементов в сумме (1) возрастает экспоненциально с увеличением точности, при этом для обеспечения малых вычислительных затрат рекомендуется ограничится приемлемой с практической точки зрения точностью что соответствует Дальнейшее увеличение точности приводит к резкому увеличению требуемого числа компонент для ее реализации. 2. Особенности реализации модели комплексного белого гауссова шума в системах моделирования Выше была представлена математическая модель формирования комплексного белого гауссова шума, решающая проблему АФЧ. Рассмотрим особенность, связанную с применением полученной модели в системах математического моделирования. Одним из основных (фундаментальных) параметров у систем моделирования является временной шаг решения через который производится вычисление всех параметров моделируемой системы. В этом случае выражение (1) примет вид (4) где - время моделирования. Из выражения (4) следует, что высшая частота в спектре формируемого шума составляет При этом выше частот при анализе модели быть не может, поскольку иначе требуется уменьшить соответственно в рамках системы моделирования модель шума, описываемая выражением (4), является комплексным белым гауссовским шумом. 4. Формирование полигармонических сложных помех в комплексном виде Одним из возможных подходов для формирования сложных полигармонических помех в комплексном виде, удовлетворяющих решению проблемы АФЧ, на основании спектрограмм помех, присутствующих в реальном канале связи, является их формирование из комплексного белого гауссова шума, за счет применения результатов авторегрессионных методов [10]. Согласно авторегрессионной модели [10] сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума через «чисто рекурсивный» фильтр N-го порядка. Спектральная плотность мощности такого сигнала пропорциональна квадрату модуля коэффициента функции передачи формирующего фильтра. А основными задачами авторегриссионной модели являются определение коэффициентов фильтра заданного порядка и оценке мощности возбуждающего белого шума. Для их решения был разработан целый ряд методов [10]. Из вышеизложенного следует, что для формирования полигармонической помехи в комплексном форме, на основании анализа помеховой ситуации в реальном канале, требуется произвести следующую последовательность действий: 1. Примененить авторегрессионные методы к интересующей нас реальной полигармонической помехе, представленной в виде вещественного сигнала, и задаваясь порядком модели формирующего фильтра, определить коэффициенты у передаточной функции и дисперсии формирующего белого шума. 2. Посредством модели формирующего фильтра произвести преобразование по отдельности действительной и мнимой части комплексного белого шума, что можно представить в виде следующих соотношений (5) где - переходная характеристика формирующего фильтра. 3. Преобразованные процессы на выходе фильтров использовать для формирования искомой комплексной помехи представив ее следующим образом (6) Заключение В заключении хотелось бы сделать следующий выводы: 1. Предложенная математическая модель комплексного белого гауссова шума обеспечивает решение проблемы АФЧ и расширяет возможности предложенного подхода моделирования, представленного в работе [3]. 2. Полученные оценки точности аппроксимации функции распределения нормального закона, показывают, что для получения высокой точности достаточно учитывать в сумме всего лишь 24 элемента. Увеличение точности свыше приводит к резкому увеличению числа требуемых компонент r. 3. Представленный новый подход формирования реальных полигармонических помех в комплексном виде, обеспечивает решение АФЧ.