МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВОЗРАСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ СМЕРТНОСТИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ЛИ-КАРТЕРА

Полный текст

Введение

Высокий уровень смертности является основной демографической проблемой [1]. Сегодня наиболее острой проблемой является смертность населения в трудоспособном возрасте, как экономически активного населения [2]. В результате преждевременной смертности экономически активного населения экономика страны несет колоссальные потери [3; 4]. При этом следует отметить, что именно в трудоспособном возрасте большинство ученых по данной тематике отмечают потери рабочей силы страны [5; 6].   

Снижение уровня смертности населения — одна из главенствующих целей демографической политики России [7]. Достичь его можно путем сокращения заболеваний от болезней системы кровообращения, новообразований, внешних причин, которые занимают лидирующие места в причинах смерти во всем мире и в РФ [8; 9].

Одним из основных показателей здоровья населения любого государства является ожидаемая продолжительность жизни [10]. Ожидаемая продолжительность жизни — интегральный показатель состояния здоровья населения и уровня социально-экономического развития, который активно используется как индикатор качества человеческих ресурсов.

Средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении (средняя продолжительность предстоящей жизни) является важнейшим демографическим показателем, характеризующим через уровень смертности состояние общественного здоровья. Как известно, для расчёта данного показателя строятся таблицы смертности [11]. Если известны повозрастные коэффициенты смертности, то появляется возможность рассчитать вероятность дожития до определенного возраста — непосредственно ее и экстраполируют на будущее, определяя среднюю ожидаемую продолжительность жизни для различных возрастных когорт.

Интерес к моделированию и прогнозированию показателя смертности населения обусловлен необходимостью ее снижения в целях достижения более высоких показателей качества жизни и благосостояния [12], сохранения доли экономически активного населения и многими другими причинами, в том числе потребностью формирования механизмов снижения смертности [13]. Обострило проблему получения точных прогнозов смертности существенное старение населения в экономически развитых странах [14].

Таким образом, прогнозирование смертности в настоящее время является актуальной задачей. Для реализации мероприятий демографической политики в решении проблемы необходим мультидисциплинарный подход [15], позволяющий осуществлять аналитическую оценку и прогнозирование эффективности принимаемых решений для обоснования наиболее оптимальных мер как для краткосрочной, так и для более продолжительной перспективы [16]. Статистические  модели позволяют разрабатывать рекомендации по рациональному перераспределению финансовых и других ресурсов для повышения эффективности и результативности оказания медицинской помощи [17]. Для эффективного решения задачи поэтапной трансформации системы оказания первичной медико-санитарной помощи были использованы методы математической статистики [18], что позволило разработать рекомендации по управлению изменениями в процессе перехода к новой модели медицинской организации [19]. Результаты моделирования показателей деятельности онкологической службы показали возможности прогнозирования числа случаев смерти от ЗНО, что позволяет более эффективно и рационально распределять бюджет на диагностику и лечение [20].

Наиболее интересной для прогнозирования возрастных коэффициентов смертности является модель, разработанная демографами Р. Д. Ли и Л. Р. Картером в 1992 г. для прогнозирования смертности в США [21]. Особенностью данной модели является учет возрастной структуры населения. Преимущества модели Ли-Картера по сравнению с другими прогнозными моделями возрастной смертности состоят в ее относительно простой конструкции и устойчивости. Модель включает минимум параметров, каждый из которых можно демографически интерпретировать. Для их оценки требуется сравнительно небольшое количество информации.

Данные методы получили широкое распространение для прогнозирования уровня смертности в различных странах: Италии, Австралии, Перу, Казахстане, Украине [15; 22].

Цель исследования — моделирование и прогноз показателей смертности населения Оренбургской области на основе модели Ли-Картера.

Материал и методы

Данные численности населения по полу и по возрасту взяты из базы Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Оренбургской области. Из ежегодных сборников Медицинского информационного–аналитического центра Оренбургской области выкопированы абсолютные данные о количестве смертей за 1991 по 2020 годы по полу и по возрастам. На основе собранных данных рассчитана матрица повозрастных коэффициентов смертности. К полученным значениям применен метод Ли-Картера. Рассчитаны параметры модели методом сингулярного разложения, в том числе индекс смертности населения Оренбургской области, представляющий собой временной ряд. Все вычисления и расчеты, в том числе проверка статистических гипотез, проведены с помощью библиотек языка программирования Python.

Для моделирования и прогнозирования индекса смертности применены интегрированные модели авторегрессии — скользящего среднего (ARIMA-модели). Проверка временного ряда на стационарность осуществлялась на основе анализа автокорреляционной функции, а также тестов Дики-Фуллера, KPSS, Филлипса-Перрона. Подбор параметров ARIMA-модели произведен на основе анализа автокорреляционной и частной корреляционной функции, оценка качества модели осуществлена с помощью информационных критериев Акаике, Шварца, Ханкена-Квина.

Анализ остатков построенной ARIMA-модели осуществлялся на основе критерия Льюинга-Бокса на уровне значимости .

РЕЗУЛЬТАТЫ

В качестве исходных данных для построения модели использованы возрастные коэффициенты смертности в период с 1991 по 2020 год отдельно для мужского и женского населения Оренбургской области. Возрастные коэффициенты смертности представлены для 5-летних возрастных групп ( ) 0-4, 5-9, 10-14, 15-19, 20-24, 25-29, 30-34, 35-39, 40-44, 45-49, 50-54, 55-59, 60-64, 65-69, 70-74, 75-79, 80-84, 85-89, 90-94, 95-99, 100+ лет и рассчитывались по формуле:

где       — среднегодовая численность мужчин/женщин в возрастной группе  в году  ( ),

 — абсолютное число умерших мужчин/женщин в возрастной группе  в году .

Для предварительного анализа исходных данных построены графики зависимостей коэффициентов смертности мужского ими женского населения от времени и от возраста. На рис. 1 изображена динамика общих коэффициентов смертности для мужского и женского населения за период 1991-2020 гг. Анализ приведенных зависимостей позволил сделать вывод том, что смертность населения региона имеет нестабильную динамику, обусловленную различными факторами. К примеру, распад СССР, экономический кризис и ухудшение показателей уровня и качества жизни привел к резкому росту смертности в 1993-1994 гг. С 2005 до 2020 года в Оренбургской области наблюдается тенденция к снижению смертности населения, причем снижение смертности мужского населения имеет более выраженный характер. Скачок смертности в 2020 году, отраженный на рис. 1, связан с начавшейся пандемией COVID-19.

 

Рис. 1. Общие коэффициенты смертности мужского и женского населения Оренбургской области

Fig. 1. The total mortality rates of the male and female population of the Orenburg region

 

На рис. 2, 3 приведены зависимости коэффициентов смертности мужского и женского населения по различным возрастным группам для 2005, 2019 и 2020 годов. Анализ приведенных зависимостей показал, что смертность как мужского, так и женского населения снижалась вплоть до 2019 года для всех возрастных групп. В 2020 году смертность мужского населения превысила смертность 2019 года для возрастных групп старше 25 лет, а женского населения для возрастных групп старше 15 лет.

 

 

Рис. 2. Возрастные показатели смертности мужского населения Оренбургской области

Fig. 2. Mortality rates by age of the male population of the Orenburg region

 

 

Рис. 3. Возрастные показатели смертности женского населения Оренбургской области

Fig. 3. Mortality rates by age of the female population of the Orenburg region

 

К полученной матрице повозрастных коэффициентов смертности применен метод Ли-Картера. Согласно методу, матрица подгоняется простой моделью для описания изменений общей смертности как функции одного временного параметра :

 или

где  наблюдаемая повозрастная смертность в возрасте  в течение времени  коэффициенты  — параметры модели,  — ошибки, имеющие нормальное распределение с нулевой средней и постоянной дисперсией. Интерпретация параметров довольно проста:  — средние значения  в возрасте  в течение времени,  представляет собой характер изменения смертности по возрасту, а индекс  — тенденцию изменений смертности во времени.

Расчёт параметров модели осуществлен при помощи метода сингулярного разложения.

Результаты расчета параметров модели представлены в табл. 1 и 2.

 

Таблица 1. Параметры  для мужского и женского населения Оренбургской области для базисного периода 1991-2020

Table 1. Parameters  for male and female population of the Orenburg region for the base period of 1991-2020

 

Возрастные группы / Age groups	мужское население / male population		женское население / female population
0-4	-5,83630192	0,11168802	-6,09874	0,15597021
5-9	-7,77608347	0,09824534	-8,18611	0,17839598
10-14	-7,64212149	0,08578735	-8,2568	0,2511886
15-19	-6,4497419	0,0937296	-7,31961	0,32471764
20-24	-5,73150236	0,10712677	-7,00136	0,24863789
25-29	-5,32045427	0,06179727	-6,61979	0,0615035
30-34	-4,96686112	0,0275368	-6,27611	-0,06419068
35-39	-4,73996336	0,00808461	-5,98283	-0,03217102
40-44	-4,47644137	0,02306741	-5,73344	0,03851871
45-49	-4,20970162	0,04016099	-5,40275	0,09170013
50-54	-3,9087793	0,04082956	-5,05462	0,02575199
55-59	-3,64464023	0,0330139	-4,63442	-0,05224871
60-64	-3,24838677	0,02741546	-4,19771	-0,05131798
65-69	-2,92117625	0,02860497	-3,83997	0,08919235
70-74	-2,59681305	0,02530065	-3,29943	0,15737933
75-79	-2,26785249	0,0213249	-2,85199	0,01144594
80-84	-1,92269259	0,01140563	-2,28149	-0,05015884
85-89	-1,55232081	0,01933411	-1,76734	-0,14015872
90-94	-1,17167675	0,01998283	-1,3233	-0,09811403
95-99	-0,8705252	0,02277266	-0,84568	-0,0579239
100+	-1,21101475	0,09279117	-0,87471	-0,08811837

 

Таблица 2. Параметр  для мужского и женского населения Оренбургской области

Table 2. Parameter  for male and female population of the Orenburg region.

 

Год / Year	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Мужчины / male	4,31486193	2,53881987	3,34080364	4,31066883	3,72698622	2,35198258
Женщины / female	2,03728697	1,9894922	2,41488787	2,29845823	2,51691301	2,75373899
Год / Year	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Мужчины / male	2,47030462	3,74668393	3,22290565	2,00335406	4,49416286	3,14032518
Женщины / female	1,408737	1,914271	1,264556	1,57279	2,850768	1,074464
Год / Year	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Мужчины / male	2,86004531	2,05377282	2,3867278	0,20260815	0,51761953	1,6065092
Женщины / female	0,88764	0,40856	0,42645	0,34121	0,610811	-0,08109
Год / Year	2009	2010	2011	2012	2013	2014
Мужчины / male	-0,23612299	-0,74329868	-1,98789944	-2,29306665	-1,46936734	-3,05566711
Женщины / female	-0,72447	-1,54291	-0,5021	-1,52552	-1,92882	-1,11447
Год / Year	2015	2016	2017	2018	2019	2020
Мужчины / male	-4,34171595	-6,72381915	-5,73053364	-6,52330312	-8,24517811	-7,93917
Женщины/ female	-2,68216	-3,07505	-2,1204	-4,24318	-3,43118	-3,79968

 

Для оценки точности подгонки вычислим объясненную дисперсию. Это отношение дисперсии различий между фактическими и подобранными показателями к дисперсии фактических показателей. Для данных по Оренбургской области точность модели представлена в табл. 3.

 

Таблица 3. Точность построенной модели для возрастных коэффициентов смертности Оренбургской области с 1991 по 2020 гг.

Table 3. The accuracy of the constructed model for the age mortality rates of the Orenburg region from 1991 to 2020.

 

Возрастные группы / Age groups	Объясненная дисперсия  / The explained variance σ,%
	Мужчины / male	Женщины / female
0-4	89,82	58,28
5-9	73,06	57,75
10-14	78,44	69,68
15-19	84,61	92,31
20-24	87,91	81,94
25-29	61,80	63,27
30-34	66,74	34,18
35-39	66,13	52,59
40-44	72,51	65,03
45-49	79,07	63,40
50-54	68,17	51,99
55-59	73,14	51,34
60-64	62,03	62,62
65-69	53,93	36,88
70-74	65,73	51,14
75-79	54,32	10,46
80-84	27,06	29,89
85-89	30,71	53,39
90-94	35,16	22,58
95-99	10,27	18,40
100+	33,13	23,13

 

Рассматривая соответствие для каждой возрастной группы отдельно, наблюдаем самую низкую точность для мужчин в возрастной группе 95-99 лет (10,27%), для женщин — 75-79 года (10,46%). В целом точность модели составила 70,69% для мужчин и 51,91% для женщин.

Дальнейшее исследование было сфокусировано на мужской части населения, т.к. точность подгонки для женского населения оказалась недостаточной для дальнейшего прогнозирования.

Результаты расчета параметров модели для мужского населения представлены графически на рис. 4, 5, 6.

 

 

Рис. 4. Значения параметра  для базисного периода 1991-2020 гг.

Fig. 4. Values of the  parameter for the base period 1991-2020

 

 

Рис. 5. Значения параметра  для базисного периода 1991-2020 гг.

Fig. 5. Values of the  parameter for the base period 1991-2020

 

 

Рис. 6. Значения параметра  для базисного периода
1991-2020 гг.

Fig. 6. Values of the  parameter for the base period 1991-2020

 

Анализ зависимости на рис. 6 показал, что индекс смертности не подчиняется линейной зависимости, поэтому точности модели оказалась недостаточной. Рис. 6 показывает уменьшение индекса смертности , начиная с 2001 года. Можно предположить, что точность подгонки можно увеличить, сократив период наблюдений. Также большой вклад в точность подгонки внесло разбиение на возрастные группы.

Для увеличения точности подгонки, последовательно были отброшены возрастные группы и моменты наблюдения, которые внесли наиболее большой вклад в необъясненную дисперсию модели.

Ниже приведены ошибки модели, определенные как сумма квадратов отклонений реальных и модельных данных отдельно для каждой возрастной группы и каждого года наблюдения. Они представлены в табл. 4, 5.

 

Таблица 4. Ошибки модели для каждой возрастной группы

Table 4. Model errors for each age group

 

Возрастная группа / Age group	Сумма квадратов отклонений прогнозных и реальных значений  по возрастам / Sum of squared deviations of predicted and real values of  by age
0-4 года	0,6383091089325212
5-9 лет	1,6071208287887098
10-14 лет	0,9137393256350517
15-19 лет	0,7214854174522348
20-24 лет	0,7127786618932226
25-29 лет	1,0662299646933882
30-34 лет	0,9382943113764837
35-39 лет	0,45202881014085794
40-44 лет	0,21731776928958474
45-49 лет	0,1928382156486077
50-54 лет	0,35158043905982245
55-59 лет	1,6346792043445684
60-64 лет	0,20777377824767782
65-69 лет	0,3157188307255687
70-74 лет	0,1507202634589061
75-79 лет	0,17269888389537338
80-84 года	0,15836609247183375
85-89 лет	0,3808812602125091
90-94 года	0,3324844103198968
95-99 лет	2,046752056014235
100+	7,848864077090789

 

Таблица 5. Ошибки модели для каждого наблюдаемого года

Table 5. Model errors for each observed year

 

Год / Year	Сумма квадратов отклонений прогнозных и реальных значений  по годам / Sum of squared deviations of predicted and real values of  by year
1991	2,1962797403475527
1992	2,3840404438740364
1993	0,38331578435946445
1994	0,3026934439196266
1995	0,3081136391179241
1996	0,8959902772824144
1997	1,109035539786695
1998	0,862131361577735
1999	0,3333315771268568
2000	2,4492546636582957
2001	0,4253586451586391
2002	0,23902811311024108
2003	0,38989287050779536
2004	0,3882223352182772
2005	0,46833602860756013
2006	1,0485089203840166
2007	0,3957268560675521
2008	1,1332005072304305
2009	0,2560038690315581
2010	0,4575324303209448
2011	0,5700032119638438
2012	0,4156786807978906
2013	0,7626266621574997
2014	0,40693280748000965
2015	0,2403843089505119
2016	0,6315382928812934
2017	0,2960144539086602
2018	0,2904602941892128
2019	0,34747865848450676
2020	0,6735472921907979

 

В результате серии экспериментов, выделив наибольшие из ошибок и последовательно исключая соответствующие им возрастные группы и года из периода наблюдений для увеличения точности подгонки, в качестве базисного периода выбран интервал с 1999 по 2020 год. Из возрастных групп исключили группы 0-4, 5-9, 10-14, 95-99, 100+. Эти возрастные группы имеют слишком маленькие размеры выборки, что приводит к статистической неточности и ошибкам в моделировании и прогнозировании.

Точность подгонки построенной модели на выбранном периоде составила 87,21%.

Следующим этапом исследования является получение прогнозов показателей смертности. Прогнозирование, как правило является основной целью моделирования показателей смертности. Главным преимуществом модели Ли-Картера является ее простота для прогнозирования будущих значений показателей смертности и ожидаемой продолжительности жизни, поскольку значения коэффициентов  и  постоянны и не зависят от времени. Для этого необходимо построить экстраполяцию индекса смертности . Прогнозы возрастных коэффициентов смертности выводятся из прогнозов .

На практике для моделирования и прогнозирования коэффициента  используются интегрированные модели авторегрессии — скользящего среднего ARIMA(p, d, q), (модель АРПСС, модель Бокса-Дженкинса):

Перед применением ARIMA-модели необходимо провести предварительный анализ временного ряда, определить присутствие трендов, цикличности, сезонных колебаний и прочих особенностей, которые могут повлиять на результаты моделирования. В результате анализа, пришли к выводу, что исходный ряд не стационарен, о чем свидетельствует характер автокорреляционной функции. Также проведены ряд тестов на стационарность: тест Дики-Фуллера, KPSS, тест Филлипса-Перрона, которые показали, что ряд становится стационарным после взятия первых разностей. Таким образом, было определено, что параметр модели d должен быть равен 1, т.е. динамика временного ряда может быть описана моделью ARIMA (p,1,q).

Для подбора параметров модели p и q произведен анализ корреляционной и частной корреляционной функции, оценка качества модели осуществлена с помощью информационных критериев Акаике, Шварца и Ханкена-Квина. Наилучшей моделью с минимальными значениями критериев оказалась модель случайного блуждания ARIMA с параметрами  

В результате получена следующая авторегрессионная модель для описания индекса смертности:

 

 

Параметр дрейфа  оказался значимым, его знак определяет убывание индекса смертности. Анализ остатков на основании критерия Льюнга-Бокса на уровне значимости 0,05 показал отсутствие автокорреляции (p-значение теста составило ). Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что остатки ARIMA-модели являются белым шумом, то есть случайными. Применение модели случайного блуждания с дрейфом для индекса смертности оказалось эффективным и показало высокий уровень достоверности, так как коэффициент детерминации  Используя полученную ARIMA-модель получены прогнозы индекса смертности, приведенные на рис. 7.

 

 

Рис. 7. Прогноз индекса смертности до 2035 года

Fig. 7. Forecast of the mortality index until 2035

 

Обсуждение

Пандемия COVID-19 значительно повлияла на жизнь людей по всему миру. К сожалению, многие страны столкнулись с увеличением числа смертей и болезней. Но, несмотря на эти трудности, стоит отметить положительные моменты. Прогнозы индекса смертности показывают, что в ближайшие годы смертность среди мужского населения в Оренбургской области продолжит падать, несмотря на неблагоприятное влияние пандемии. Это свидетельствует о росте уровня медицинского обслуживания в регионе, а также о высоком уровне медицинской подготовки и профессионализме медицинских работников.

Используя данные прогнозы индекса смертности, можно составить таблицы смертности на несколько ближайших лет и сделать вывод о том, какие группы населения могут испытывать определенные проблемы со здоровьем. Также можно провести анализ и прогнозирование для определенных возрастных групп, что даст возможность проводить более целенаправленную работу по получению определенной категории населения качественной медицинской помощи.

Кроме того, прогнозирование индекса смертности и составление на его основе таблиц смертности необходимо для определения средней ожидаемой продолжительности жизни в Оренбургской области. Будучи одним из наиболее важных показателей уровня жизни населения, средняя ожидаемая продолжительность жизни является важным критерием, для которого область может наметить различные социально-экономические цели и задачи. Таким образом, можно сделать вывод, что анализ показателей смертности имеет большое значение для определения приоритетов в работе медицинских учреждений, а также дает возможность получить много полезной информации о здоровье и жизненном уровне населения области.

По результатам исследования может быть отмечено, что применение модели Ли-Катера для оценки данных по смертности не всегда является универсальным решением, и может быть недостаточно точным. Так, модель Ли-Катера смогла описать только смертность мужского населения в Оренбургской области, но при этом описательная способность модели стала недостаточной для полного анализа данных. Возможно, проблема заключается в том, что базисный период, использованный для построения модели, был слишком коротким, поскольку метод был изначально разработан и протестирован на данных о смертности населения США в течение столетия.

Заключение

Несмотря на вышеуказанные сложности, точность подгонки при моделировании смертности мужского населения Оренбургской области составила около 87%, что позволяет использовать этот результат для долгосрочного прогнозирования.

Наиболее подходящей ARIMA-моделью, описывающей полученный временной ряд – индекс смертности, оказалась модель случайного блуждания с дрейфом, что согласуется с результатами других авторов.

Исследование показало, что пандемия не оказывает долгосрочного влияния на смертность, поскольку, согласно полученным прогнозам, смертность мужского населения в Оренбургской области продолжит снижаться в ближайшие годы.

Об авторах

Евгений Леонидович Борщук

ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный медицинский университет» Минздрава России

Email: be@nm.ru
ORCID iD: 0000-0002-3617-5908

д.м.н., профессор, заведующий кафедрой общественного здоровья и здравоохранения №1

Россия, Оренбург

Дмитрий Николаевич Бегун

ФГБОУ ВО «Оренбургский государственный медицинский университет» Минздрава России

Email: be@nm.ru
ORCID iD: 0000-0002-8920-6675
SPIN-код: 8443-4400

д.м.н., заведующий кафедрой сестринского дела

Россия, Оренбург

Ирина Павловна Болодурина

Оренбургский государственный университет; Оренбургский государственный медицинский университет

Email: prmat@mail.osu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0096-2587
SPIN-код: 4848-0669

д-р техн. наук, профессор

Россия, Оренбург; Оренбург

Лариса Ивановна Меньшикова

Северный государственный медицинский университет

Email: menshikova1807@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-1525-2003
SPIN-код: 9700-6736

доктор медицинских наук, профессор

Россия, Архангельск

Светлана Валентиновна Колесник

Оренбургский государственный университет

Email: svkolesnik_osu@mail.ru
ORCID iD: 0009-0009-3008-0308
SPIN-код: 7548-3688
Россия

Айслу Нагашыбаевна Дуйсембаева

Оренбургский государственный медицинский университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: k.kro1@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5762-4277
SPIN-код: 7164-7107
Scopus Author ID: 58149835100

к.м.н., старший преподаватель

Россия

Список литературы

Дополнительные файлы