NUMERICAl ANAlYSIS OF STRENGTH AND RIGIDITY OF THE BIOMECHANICAl SYSTEM «BONE-APPARATUS»

Full Text

В настоящее время в травматологии и ортопедии с учетом показаний и противопоказаний широко используется метод внеочаговой стержневой фиксации и диапазон его применения широк: лечение переломов и ложных суставов, врожденной и приобретенной патологии опорно-двигательного аппарата, укорочений сегментов конечности остеомиелита, открытых и огнестрельных переломов, множественной и сочетанной травмы, повреждений позвоночника и таза [2, 7, 13, 16]. С этим связаны и продолжающиеся исследования по улучшению конструктивных особенностей стержневых аппаратов внешней фиксации, определение оптимального пространственного расположения стержней аппарата, обеспечивающего минимальное смещение костных отломков, геометрии стержневых внеочаговых аппаратов, жесткости и прочности стержневых систем аппаратов для чрескостного остеосинтеза и в конечном итоге расширения их функциональных возможностей [4, 8, 10]. 58 Экология человека 2017.04 Медицинская экология С 1987 года на базе Архангельской областной клинической больницы с целью регулирования и управления процессом остеогенеза успешно применяется стержневой аппарат собственной конструкции [1] для лечения переломов и ложных суставов бедренной кости, удлинения нижней конечности за счет бедренного сегмента. Применение данного аппарата снижает сроки консолидации при продольной остеотомии несросшихся переломов и ложных суставах, свидетельствуя о стимулирующем влиянии данного метода на репаративный остеогенез. Основываясь на проведенных ранее исследованиях, можно установить, что управляемый внеочаговый стабильный стержневой остеосинтез имеет высокую эффективность при лечении переломов длинных трубчатых костей в срочном и плановом порядке, в частности переломов бедра и их последствий. Особенностью закрытой репозиции перелома бедра внеочаговым стержневым одноконтурным аппаратом в отдаленные сроки после травмы является тяжелая управляемость костными отломками из-за выраженности вокруг них рубцово-хрящевой ткани, ретракции и перерождения мышечной ткани. Отсюда важным условием успешной репозиции и дальнейшей консолидации перелома является обеспечение достаточной жесткости биомеханической системы «кость - аппарат» [4, 10, 14, 15]. Физическая модель на примере сломанной бедренной кости представлена на рис. 1. Buöспереви Вив сбоку Рис. 1. Физическая модель биомеханической системы «кость - аппарат» Систему «кость - аппарат» моделируем в виде упругой системы, состоящей из двух абсолютно жестких звеньев (сломанная кость), связанных между собой упруго деформируемыми элементами (аппарат с титановыми стержнями) в систему. Нагрузка массы тела человека приходится на верхнюю зону кости. Вся система должна находиться только в устойчивом состоянии равновесия. Тогда имеем бесконечно малые нарушения состояния равновесия в результате отклонений от первоначального состояния случайными причинами, например непредвиденным увеличением нагрузки при ходьбе и др. После удаления возмущающих факторов эти бесконечно малые отклонения исчезают. В теории статической устойчивости стержневых систем рассматриваются принципы и методы определения величины нагрузок, при действии которых система переходит в неустойчивое состояние с определением конечных перемещений. В литературе для идеализированных стержней рассматриваются две задачи, связанные с потерей устойчивости I и II рода. Они подробно исследованы в работах Болотина В.В., Джанелидзе Г. Ю., Па-новко Я. Г., Санжаровского Р. С. и др. [6, 8, 11, 15, 17-21]. Изучены различные виды прямолинейных стержней, имеющие различные способы нагружения и концевые закрепления с графическим представлением равновесных механических систем в Эйлеровой интерпретации [3]. Надо помнить, что число возможных форм равновесия определяется степенью свободы системы. Под степенью свободы понимаем число независимых геометрических параметров, необходимых для определения с их помощью положений всех точек механической системы, потерявшей устойчивость. В рассматриваемой задаче принимается, что стержень (кость) состоит из абсолютно жестких звеньев, число которых равно минимум двум, связанных между собой шарниром с пружинами, имитирующими «аппарат» [1] (рис. 2). Рис. 2. Расчетная схема в системе «кость - аппарат» В процессе установки система «кость - аппарат» позволяет реализовать все 6 степеней свободы. После постановки ее в зоне перелома оставляем в стержне всего одну (изгибную) степень свободы, так как неустойчивое состояние системы может определяться только этим, неизвестным, параметром шарнира С в виде угла поворота одного из звеньев АС (ф1) или BC (Ф2). Нагрузка, приводящая к переходу системы из состояния равновесия, которое может быть как устой 59 Медицинская экология Экология человека 2017.04 чивым, так и неустойчивым, называется критической нагрузкой или критической силой. В системе с одной степенью свободы такая нагрузка (сила) будет иметь всегда одно значение (см. рис. 2). Если внешняя нагрузка не достигает этого значения, система будет находиться в состоянии устойчивого равновесия с большой вероятностью перехода ее в иное положение из-за наличия в ней слабого звена в виде узла С. Поэтому изучение такой системы с конечным числом степеней свободы представляет практический интерес и является актуальным для биомеханической системы «кость - аппарат». Целью настоящей статьи является определение факторов, влияющих на устойчивость биомеханической системы «кость - аппарат», и значимости их влияния. Методы Для определения критических сил существуют три основных метода: статический (метод равновесия), энергетический (вариационный) и динамический (кинематический). Так как эти три метода отличаются друг от друга в формулировке задачи, результаты могут не совпадать. Для упругих консервативных систем все три метода теоретически дают одинаковые результаты. Исследование упругих систем, нагруженных неконсервативными силами, следует производить динамическими методами [5]. Рассмотрим решение задачи устойчивости с определением критической нагрузки для стержневой системы из двух жестких звеньев и одного упруго деформированного элемента между этими звеньями статическим методом (рис. 3). : А ■О / Ф, С(Ф,*Фз) Q \ Ф I ‘ Я Рис. 3. Расчетная схема Составим уравнение моментов в среднем шарнире, узел С: Р • К • Фі - Q • К - с(Фі + ф2) = 0, (1) Для опорного шарнира (узел B) запишем: - Q • (і + l2) = 0. Заменим систему уравнений, предварительно сделав геометрические преобразования, учитывая малость углов: Здесь l1 sin ф1 = l2sin ф2, можно выразить через { D = /, -(р, =1г -<р, и (рг =щ ’У Тогда , -Qik + l2) = 0 (2) Система (2) однородна относительно неопределенных сил Q и угла ф. Решение ее возможно, если определитель D = 0: М.-Ф + '1/, г) 0 -(І, +1,) (3) Значение критической силы будет равно: С{\ + 1'/[) Р =-lb- 7 * г ,< ! Г С(1 + Х} C(l + 1) 4С Если /, =12 =-, то РК!> =---= -= 2 1[ /2 1 где С - коэффициент жесткости стержня, [Н-м]. Данный коэффициент можно найти из выражения С = ~j-> (4) где EJ - жесткость стержня, [Н-м2]. Тогда значение критической силы можно найти по следующей формуле: „ 4 3 EJ 12 EJ кр=7'~Г = ~!^. (5) В случаи перелома, из-за изменения расчетной схемы, формула примет вид г, 12 EJ P<*=-tf-. (6) Из вышеприведенных расчетов можно сделать вывод о том, что на надежную работу (обеспечение устойчивости) биомеханической системы «кость -аппарат» влияют: - величина критической нагрузки, приложенной к кости; - жесткость рассматриваемой системы; - длина стержня. Кроме того, в работе [14] было установлено, что угол наклона нагелей к продольной оси кости также оказывает влияние на величину воспринимаемой нагрузки, следовательно, и на устойчивость. Рассмотрим, как будет изменяться критическая нагрузка в зависимости от изменения данных факторов, а именно установим, какое влияние на выходной параметр P оказывает: длина стержня - l, коэффициент жесткости стержня - C, угол наклона нагелей к продольной оси кости - 0. Сначала зададим основные уровни для каждой независимой переменной (l, C, 0) (табл. 1) [8]. Далее необходимо установить все возможные сочетания уровней факторов для рассматриваемого случая (табл. 2). 60 Экология человека 2017.04 Таблица 1 Уровни независимых переменных Значение фактора Фактор -1 0 + 1 Интервал варьирования X1 - угол наклона нагелей к продольной оси, град. 0 8,75 17,5 17,5 Х2 - коэффициент жесткости стержня, кН ■ см 1,485 8,91 20,79 19,305 Х3 - длина стержня, см 30 45 60 30 Таблица 2 Сочетание уровней факторов № Угол наклона нагелей к продольной оси Коэффициент жесткости стержня Длина стержня ®, град. X1 C, кН ■ см Х2 1, см Х3 1 0 - 1,485 30 - 2 17,5 + 1,485 30 - 3 0 - 20,79 + 30 - 4 17,5 + 20,79 + 30 - 5 0 - 1,485 - 60 + 6 17,5 + 1,485 - 60 + 7 0 - 20,79 + 60 + 8 17,5 + 20,79 + 60 + Интерпретировав табл. 2 только в кодированной форме, получим матрицу планирования эксперимента (табл. 3). Таблица 3 Матрица планирования эксперимента № Х0 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 + - - - + + + - 2 + + - - - - + + 3 + - + - - + - + 4 + + + - + - - - 5 + - - + + - - + 6 + + - + - + - - 7 + - + + - - + - 8 + + + + + + + + Таблица 4 Результаты опыта № X1 X2 X3 Y1 Y2 Y ср Sn 1 - - - 0,190 0,210 0,200 0,000 2 + - - 0,255 0,281 0,268 0,000 3 - + - 2,660 2,940 2,800 0,039 4 + + - 3,564 3,940 3,752 0,070 5 - - + 0,095 0,105 0,100 0,000 6 + - + 0,127 0,141 0,134 0,000 7 - + + 1,330 1,470 1,400 0,010 8 + + + 1,782 1,970 1,876 0,018 Se = 0,138 Медицинская экология Полученные результаты расчета представлены в табл. 4 (их обработка выполнена с помощью Microsoft Excel 2010), где 5й - построчные дисперсии; N sB = - $п - сумма квадратов ошибок. П = 1 Вывод о том, насколько хорошо данный опыт воспроизводим, делается на основе критерия Кохрена. Критерий Кохрена вычисляем по формуле: (7) Критическое значение критерия Кохрена при уровне значимости а = 0,05 равно 0,68. Полученное расчетное значение данного критерия составляет 0,036, то есть не превышает критическое. Из этого можно сделать вывод, что опыт хорошо воспроизводим. Целью расчета плана полного факторного эксперимента является: - определение коэффициентов в уравнении регрессии: - определение значимости этих коэффициентов; - выяснение вопроса, адекватно ли эмпирическое уравнение описывает исследуемое факторное пространство. Ниже приведен расчет коэффициентов уравнения регрессии для нашего эксперимента (табл. 5). Таблица 5 Расчет коэффициентов уравнения регрессии № ХЈср X,Y 2 ср ХЈср X.X.Y 1 2 ср X.X.Y 1 3 ср X,X,Y 2 3 ср Y ср 1 -0,200 -0,200 -0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 2 0,268 -0,268 -0,268 -0,268 -0,268 0,268 0,268 3 -2,800 2,800 -2,800 -2,800 2,800 -2,800 2,800 4 3,752 3,752 -3,752 3,752 -3,752 -3,752 3,752 5 -0,100 -0,100 0,100 0,100 -0,100 -0,100 0,100 6 0,134 -0,134 0,134 -0,134 0,134 -0,134 0,134 7 -1,400 1,400 1,400 -1,400 -1,400 1,400 1,400 8 1,876 1,876 1,876 1,876 1,876 1,876 1,876 N m n=1 1,530 9,126 -3,510 1,326 -0,510 -3,042 10,530 b.. 4 b1 = 0,191 b2 = 1,141 b3 = -0,439 b12 = 0,166 b13 = -0,064 b23 = -0,380 b0 = 1,316 Далее необходимо определить, какие из полученных коэффициентов уравнения регрессии можно считать значимыми. Коэффициенты считаются значимыми, если: Mul t. (8) где S. - дисперсия коэффициентов; t - критическое значение распределения Стьюдента. 61 Медицинская экология Экология человека 2017.04 В свою очередь 5? = - ^ N, где S2- дисперсия воспроизводимости, равная 5= f-У Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости всегда рассчитывается следующим образом: f = N(y - 1), где N - число необходимых для реализации плана опытов; у - число параллельных опытов. В нашем случаи N = 8, у = 2, тогда: Получаем: tK= 2,31 • V 0,0011 = 0,077. То есть значимыми коэффициентами будут все, кроме коэффициента b13 = 0,064. Результаты Полученное уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом: у = 1,316 + 0,191X1 + 1,141X2 - 0,43 9X3 + О. 166X1X2 - 0,380X2X333. Данное уравнение необходимо проверить на адекватность, то есть провести исследование, насколько точно оно описывает опытные данные. Проверку уравнения на адекватность проводят с помощью критерия Фишера: ■ р 4ищр - (9) Предположим, что для нашего случая имеет место нормальное распределение Фишера с нулевым математическим ожиданием. Для проведения необходимых вычислений воспользуемся расчетной матрицей (табл. 6). Находим SD как: S, = YSr. Число степеней свободы /1, необходимое для расчета дисперсии адекватности, равно: f = N - q где q - число значимых коэффициентов с учетом свободного члена b0. Тогда f = 8 - 6 = 2. Вычисляем значение критерия Фишера: 2 ‘0,057/2 F= _ =3,30, (10) Значение F 0,135/8 для заданного уровня значимости а = 0,05 и в соответствующих значениях / и /2 составляет 5,32. Так как расчетное значение критерия Фишера не превосходит критическое (3,30 < 5,32), полученное уравнение регрессии не отвергается и считается надежным (адекватным). Обсуждение результатов Полученное уравнение регрессии подтвердило тезисы, упомянутые в работах [12, 14, 15], о важности обеспечения надлежащей жесткости биомеханической системы «кость - аппарат». Сравнивая значение коэффициентов при различных факторах у = 1,316 + 0,191Xj + 1,141X2 - 0,43 9X3 + + 0,166X1X2_- 0,380X2X3, (11) где y - нагрузка, приложенная к кости, кН; X1 - угол наклона нагелей к продольной оси кости, град; X2 - коэффициент жесткости, кН • см; Х3 - длина стержня, см, можно прийти к выводу, что наиболее значимым из рассматриваемых факторов является Х2 (коэффициент жесткости). Вторым по значимости (в 2,6 раза меньше X2) является коэффициент при факторе l (длина стержня). Минимальное влияние (значимость в 5,97 раза меньше X2) оказывает фактор 0 (угол наклона нагелей к продольной оси). Тем не менее при достижении углом наклона нагелей к продольной оси кости значения от 10 до 15 градусов происходит увеличение (знак “ + ” перед коэффициентом в уравнении регрессии) прочности (величины воспринимаемой нагрузки) системы на 20...25 % [14]. Стоит отметить, что малые значения коэффициентов не говорят о том, что этими факторами можно Расчетная матрица Таблица 6 № b0x0 b1x1 b2X2 b3x3 b12X12 b X 23 23 y„ y„ (y„ - Уп)2 1 1,316 -0,191 1,141 0,439 0,166 -0,380 0,209 0,200 0,000 2 1,316 0,191 1,141 0,439 -0,166 -0,380 0,260 0,268 0,000 3 1,316 -0,191 1,141 0,439 -0,166 0,380 2,919 2,800 0,014 4 1,316 0,191 1,141 0,439 0,166 0,380 3,633 3,752 0,014 5 1,316 -0,191 -1,141 -0,439 0,166 0,380 0,091 0,100 0,000 6 1,316 0,191 -1,141 -0,439 -0,166 0,380 0,143 0,134 0,000 7 1,316 -0,191 1,141 -0,439 -0,166 -0,380 1,281 1,400 0,014 8 1,316 0,191 1,141 -0,439 0,166 -0,380 1,995 1,876 0,014 Sr=0,057 62 Экология человека 2017.04 Медицинская экология пренебречь. Все факторы взаимосвязаны и значительно влияют на прочность и устойчивость системы. Таким образом, полученное уравнение дает возможность не только адекватно прогнозировать величину выходного параметра, но и подбирать (изменять) требуемые параметры в зависимости от величины нагрузки. Данные расчеты представляют ценную информацию для конструирования стержневых вне-очаговых аппаратов.

About the authors

R P Matveev

Northern State Medical University

Email: natali.RM@mail.ru
Arkhangelsk, Russia

B V Labudin

Northern (Arctic) Federal University named after M.V. lomonosov

Arkhangelsk, Russia

V S Morozov

Northern (Arctic) Federal University named after M.V. lomonosov

Arkhangelsk, Russia

A O Orlov

Northern (Arctic) Federal University named after M.V. lomonosov

Arkhangelsk, Russia

References

Supplementary files