Statistical approaches for assessing excess mortality during the COVID-19 pandemic: a scoping review

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В период пандемии новой коронавирусной инфекции (COVID-19) во всех странах мира наблюдалось увеличение смертности. При этом прирост её лишь отчасти был обусловлен непосредственно COVID-19. Увеличение смертности от других причин происходило вследствие снижения объёмов оказания плановой медицинской помощи, несвоевременного обращения за медицинской помощью из-за страха заражения COVID-19 и, как следствие, поздней диагностики ряда состояний [1–3], а также снижения доступности медицинской помощи ввиду большой нагрузки на систему здравоохранения, требующей реструктуризации и перераспределения ресурсов для лечения пациентов с COVID-19. При этом из-за ограничительных мероприятий в период пандемии наблюдалось снижение смертности от других респираторных инфекций [4], а также вследствие травм, несчастных случаев, дорожно-транспортных происшествий [5]. Наиболее объективную оценку как прямого, так и косвенного влияния пандемии COVID-19 на смертность населения даёт показатель избыточной смертности, который можно определить как число (или долю) добавочных смертей за определённый период времени к уровню, спрогнозированному для изучаемого периода с использованием данных о смертности за предыдущий период времени. Следовательно, это количественный статистический показатель, который можно измерить, однако величина избыточной смертности будет варьировать в зависимости от способа расчёта ожидаемых показателей, а также от того, какой разброс будет считаться допустимым в рамках случайной вариации вокруг предсказанных значений. Избыточная смертность может быть обусловлена различными природными (волны жары, волны холода, землетрясения, цунами и пр.) или техногенными катастрофами.

Пандемия COVID-19 была объявлена Всемирной организацией здравоохранения 11 марта 2020 г. Начиная с лета того же года в международной литературе стали появляться публикации об избыточной смертности, уровень которой сильно различался между странами и в зависимости от пола, возраста, этнической принадлежности, социального статуса и прочих характеристик [6]. Географические вариации могли быть обусловлены различиями в восприимчивости и возрастном составе населения разных стран и регионов, плотностью населения, транспортной инфраструктурой, качеством воздуха и т.д. Кроме того, величина избыточной смертности могла быть частично обусловлена различиями в методологических подходах её оценки, что вызывает необходимость систематизировать существующие аналитические подходы и статистические методики.

Целью данной работы является обзор аналитических подходов к количественной оценке избыточной смертности в период пандемии COVID-19.

МЕТОДОЛОГИЯ ПОИСКА ИСТОЧНИКОВ

Систематический поиск, отбор, синтез и представление результатов эмпирических исследований подготовлены в соответствии с рекомендациями PRISMA (Preferred reporting items for systematic reviews and meta-analyses). В обзор включали полнотекстовые публикации на русском и английском языке, опубликованные в 2020–2022 гг., посвящённые оценке избыточной смертности в период пандемии COVID-19. Поиск полнотекстовых англоязычных публикаций проводили в базе данных MEDLINE (http://www.pubmed.gov) по запросу “excess mortality” AND (“pandemic” OR “COVID-19”) на 31.05.2023 г.

Критерии включения — оригинальные исследования, целью которых была оценка избыточной смертности на основании рутинно собираемых статистических данных с подробным описанием применяемых методов статистического анализа и источников информации, использованных при проведении исследования. Критерии исключения — использование методов машинного обучения, недостаточно полное описание применяемых статистических подходов. Отбор статей проводили независимо двумя первыми авторами с последующим обсуждением с третьим автором до достижения консенсуса.

В результате систематического поиска в базе данных MEDLINE идентифицировали 461 статью, после удаления дубликатов (n=12) 99 статей были исключены по причине несоответствия цели исследования тематике обзора. После изучения 350 аннотаций отобрали 147 работ для детального анализа, из которых 68 соответствовали критериям включения — они и были включены в обзор. Русскоязычные полнотекстовые журнальные статьи отбирали с использованием научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU по поисковому запросу “избыточная смертность, COVID-19”. Найдено 264 публикации, из них по результатам анализа аннотаций для дальнейшего изучения было отобрано 43 статьи. Критериям включения в обзор соответствовали 5 из них. Таким образом, данный обзор включает 83 оригинальных исследования, опубликованных на русском и английском языках с начала пандемии до 31.05.2023 г. Блок-схема отбора публикаций представлена на рис. 1.

 

Рис. 1. Блок-схема отбора публикаций.

Fig. 1. Flow-chart of the article selection procedure.

 

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Основные аналитические подходы к оценке избыточной смертности в применении к пандемии новой коронавирусной инфекции, встречающиеся в литературе, представлены в табл. 1. (см. приложение 1, doi: 10.17816/humeco595937-4185856 )

Подходы к определению избыточной смертности

Со статистической точки зрения избыточная смертность — это разность или отношение между фактическим числом умерших за определённый промежуток времени (день, неделю или месяц) в течение пандемии COVID-19, и ожидаемым числом умерших, предсказанным на основании анализа временны́х рядов с использованием агрегированных статистических данных о смертности за предыдущий период времени. Чаще всего используют интервал 5 или 10 лет для расчёта ожидаемых показателей смертности, однако в некоторых случаях возможно применение и более коротких временны́х промежутков.

Анализ временнóго ряда данных о смертности начинается с оценки регулярных (тренд, цикличность, сезонность) и нерегулярных (шум) компонентов. Затем проводится поиск закономерностей и построение математической модели, описывающей данный временнóй ряд. Полученная модель используется для построения прогноза ожидаемого уровня смертности, который наблюдался бы при отсутствии пандемии COVID-19, исходя из тенденций предыдущих лет.

В качестве числового отображения избыточной смертности может применяться не только разность между ожидаемым и актуальным значением. Так, многими авторами проанализированных публикаций использовался показатель P-score, определяемый как отношение разности между наблюдаемым и верхним порогом ожидаемого значения смертности в популяции к верхнему порогу ожидаемого значения смертности. При этом в ряде случаев верхний порог определяется как ожидаемое значение плюс 2,5% доверительного интервала для данного ожидаемого значения, что позволяет учесть неопределённость, создаваемую естественной изменчивостью показателя смертности.

Альтернативным описанному подходу является применение Z-score. Такой подход используется, например, Европейским проектом по мониторингу смертности (EuroMOMO). Z-score определяется как отношение разности между наблюдаемым показателем смертности и ожидаемым показателем к стандартному отклонению ожидаемого значения для данной популяции, т.е. является стандартизованным показателем [7, 8].

Расчёт среднего количества смертей за допандемический период

Подходы к оценке избыточной смертности различаются в первую очередь статистическим методом, используемым для прогнозирования ожидаемого уровня смертности. Самым простым способом определения ожидаемого уровня смертности среди отобранных авторами исследований является расчёт среднего числа смертей (с учётом доверительных интервалов) в период до начала пандемии [9–24]. Ряд исследователей дополняли оценку избыточной смертности расчётом P-score, представляющим собой долю избыточных смертей по отношению к числу зарегистрированных случаев, выраженную в процентах [14, 17, 18]. Однако эта методология не учитывает тенденции смертности по годам, а также сезонные изменения, социально-демографические факторы, что может приводить к ошибочной трактовке случайных вариаций смертности как избыточной [6]. Кроме того, на среднее недельное значение могут влиять пики повышенной смертности из-за периодов сильной жары/холода или сезонных эпидемий гриппа, наблюдавшихся то время, за которое анализируются данные.

Использование методов математического моделирования

Другие использованные в анализируемых публикациях методы, основанные на статистических моделях, позволяют прогнозировать число смертей за определённый промежуток времени на основании имеющихся данных о количестве смертей за такие же промежутки времени в течение предыдущих 2, 5 или 10 лет с учётом внутригодовой несимметричности (сезонности), существующих трендов (рост или снижение смертности) и других изучаемых факторов. Данный подход может быть использован в целом для всей популяции либо в группах определённого возраста, пола и т.д. При этом для каждого из периодов времени (дней/недель/месяцев) строится отдельная модель. Классический регрессионный анализ — самый популярный из методов прогнозирования ожидаемого числа смертей среди использованных в анализируемых исследованиях, при этом авторы применяли следующие подходы: 1) методы, основанные на построении неадаптивных обобщённых линейных моделей (линейной регрессии, регрессии Пуассона, отрицательной биноминальной регрессии, модели Серфлинга), для оценки параметров которых используются все имеющиеся данные [5, 7, 25–70]; 2) методы, основанные на построении адаптивных моделей, значения параметров которых рассчитываются на основе скользящего окна наблюдений [71–79].

Особенностью неадаптивных регрессионных моделей является то, что они учитывают данные о смертности за весь имеющийся в арсенале исследователя период наблюдений. Однако, если паттерны смертности меняются, то наличие более ранних данных может ухудшать прогностическую ценность модели, в этой связи для построения неадаптивных моделей не рекомендуется использовать длительные период наблюдения. Адаптивные регрессионные модели, как правило, используют ограниченный временнόй период и более чувствительны к краткосрочным текущим изменениям смертности.

Адаптивные модели чаще применяют при краткосрочном прогнозировании, когда период предшествующего наблюдения, на основании которого рассчитываются данные об ожидаемом числе смертей, не превышает нескольких месяцев. При этом важно учитывать, что продолжительность данного периода тесно связана с видом регрессионной зависимости: чем больше число неизвестных параметров, тем больше требуется данных для получения их оценок, и наоборот, чем шире окно, тем сложнее может потребоваться функция для адекватного представления участка кривой, описывающей изменение числа смертей.

Неадаптивное моделирование

Из числа неадаптивных моделей наиболее часто использовались различные варианты линейных моделей, такие как линейная регрессия, обобщённая линейная регрессия [25–37]. Последняя является более широким обобщением линейной регрессии, которое используется в случаях, когда распределение зависимой переменной (в данном случае — ожидаемого числа смертей) отличается от нормального, и связь между данной переменной и её предикторами является не линейной, а задаётся той или иной функцией.

В большинстве проанализированных работ для обеспечения связи зависимой переменной с линейным выражением вида β0+βx+ε (где β0 — константа, βx — коэффициенты регрессии, ε — случайная ошибка модели) применялись так называемые преобразующие функции (link function). Этот подход охватывает широко используемые статистические модели, такие как регрессия Пуассона [7, 38–53], негативная биноминальная регрессия [5, 54–59], регрессия Серфлинга [60, 62] и другие. Вид регрессионной модели определяется исходя из свойств анализируемого временнόго ряда. Исключительно полиномиальные или степенные функции используются редко, так как в большинстве случаев модель должна учитывать сезонные колебания смертности, связанные с температурными факторами, ростом числа респираторных вирусных инфекций. Для этих целей можно использовать, например, модель Серфлинга [80], которая представляет из себя циклическую функцию вида:

${\widehat{y}}_t=\sum a_j{t}_j+\sum ({\beta }_{2j-1}\sin {\theta }_j+{\beta }_{2j}\cos {\theta }_j)$,

где ${\widehat{y}}_t$ — оценка заболеваемости в момент времени t; α_j и β_j — параметры регрессии; θ_j — линейная функция времени t. Обычно используют θ_j=2π_jt/T, где T — период сезонности, например 12 мес или 52 нед.

Неадаптивные модели такого вида предполагают, что сезонность каждый год проявляется схожим образом. Модель Серфлинга — однофакторная и предназначена для экстраполяции исторически сложившихся эпидемических кривых с выраженной сезонностью. Подобный подход использован S. Dahal и соавт. [60] при анализе избыточной смертности в 2020 году в Мексике с использованием данных официальной статистики за 2015–2019 гг. Авторы оценили базовый еженедельный уровень смертности путём подбора циклических регрессионных моделей Серфлинга к смертности от всех причин за период 2015-2020 гг., после исключения данных с марта по декабрь 2020 года путём составления уравнения вида

Недельная смертность (t) = a+α×t+β×sin(2×π/52,17×t)+ +γ×cos(2×π/52,17×t),

где a — константа (точка пересечения оси у с графиком регрессии), α, β — параметры регрессионной модели, t — время в неделях.

В данную функцию были включены как линейная составляющая, описывающая общий тренд изменения смертности, так и комбинация синусоидальных и косинусоидальных членов, отражающих сезонность в изменении данного показателя. Для рассчитанной таким образом смертности были оценены 95% доверительные интервалы и определены недели в периоды пандемии, когда наблюдаемая смертность от всех причин превышала верхний 95% доверительный предел базового уровня смертности.

В случае, если число наблюдений мало (менее пяти лет при периоде сезонности в один год), но доступны временны́е ряды для нескольких предикторов, часто применяют регрессию Пуассона. Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимы друг от друга. В таком случае регрессия Пуассона является наиболее подходящим подходом к моделированию ожидаемого числа исходов. Так как при оценке ожидаемого числа смертей используется период в неделю или месяц, и при этом считается, что ежедневное или еженедельное число смертей являются независимыми друг от друга величинами, применение регрессии Пуассона для оценки ожидаемого числа смертей служит оправданным подходом. В случае регрессии Пуассона преобразующей функцией служит натуральный логарифм — ln(y), поэтому её называют логарифмически линейной или лог-линейной. В общем виде уравнение регрессии Пуассона имеет вид:

ln(y)=β0+βx+ε,

где β0 — константа, βx — коэффициенты регрессии, ε — случайная ошибка модели.

Уравнение регрессии Пуассона используется для описания зависимости пуассоновской переменной (в нашем случае — числа смертей за определённый промежуток времени) от множества переменных x₁, x₂, …, x_k.

В частности, в исследовании N. Islam с соавт. [50] выполнена оценка избыточной смертности в 29 развитых странах с использованием агрегированных данных из базы «Short-term Mortality Fluctuations» (STMF) (является частью «Human Mortality Database» (HMD)). Авторами составлено следующее уравнение функции, описывающей ожидаемое количество смертей:

µ(s, c, a) (t)=N(s, c, a) (t)exp[βt+g(s, c, a)(wt)] for t ∈ I(c),

где t — ожидаемое число смертей на неделе для лиц одного пола (s), проживавших в стране (c) и принадлежавших к одной возрастной группе (a); t представлено как µ(s, c, a) (t); N(s, c, a) (t) — смещение, которое учитывает размер популяции; β — линейный тренд, который учитывает многолетние изменения смертности; g(s, c, a)(wt) — функция, учитывающая сезонные тенденции, где wt∈ [1, 52] представляет собой неделю года; (Ic) — интервал «допандемических» данных для конкретной страны, который использован для расчёта ожидаемого числа смертей [50].

К ограничениям использования регрессии Пуассона помимо независимости числа исходов относят также то, что дисперсия переменной должна быть равна её среднему значению, но в реальных ситуациях это условие сложно реализуемо, особенно при изучении редких исходов. Часто дисперсия значительно превышает среднюю величину, т.е. данные сверхдисперсны. Двумя альтернативными подходами, рекомендуемыми при наличии признаков сверхдисперсии, являются квазипуассоновские модели [61, 63–70] и метод отрицательной биномиальной регрессии [5, 54–59]. Квазипуассоновские и отрицательные биномиальные модели допускают бόльшую дисперсию данных, чем в модели Пуассона, за счёт того, что используют дополнительный параметр, учитывающий дисперсию. В квазипуассоновских моделях p-значения параметра оценки основаны на t-статистике, а не на z-статистике. Среднее значение как для квазипуассоновской, так и для отрицательной биномиальной модели служит единственным параметром, который может варьировать в зависимости от ковариат. Дисперсия в квазипуассоновской модели является линейной функцией среднего, в то время как дисперсия в отрицательной биномиальной модели — квадратичной функцией среднего. Эти отклонения влияют на веса в итеративно взвешенном алгоритме наименьших квадратов подбора моделей к данным, поскольку эти веса обратно пропорциональны дисперсии.

Рассмотрим применение отрицательной биноминальной регрессии на примере работы M. Dorrucci и соавт. [58]. Исследователи применили отрицательную биномиальную модель для учёта чрезмерной дисперсии, наблюдаемой в распределении числа смертей (т.е. для получения модели с показателем хи-квадрат/степень свободы ближе к 1). Ежедневное количество смертей за период времени с 1 января по 31 декабря 2020 г. было зависимой переменной в использованных моделях, ковариатами которой служили следующие: время; категориальная переменная, закодированная как 1 для 2020 года и как 0 для предыдущих предпандемических лет (2015–2019 гг.); и их взаимодействие [58].

S. Achilleos и соавт. [38] смоделировали ожидаемое еженедельное число смертей для 2020 года в 22 странах с помощью регрессии Пуассона, используя квазипуассоновское распределение, чтобы учесть чрезмерную дисперсию. Авторами использована модель с линейным временны́м трендом (в качестве единицы времени была выбрана неделя) для учёта долговременного тренда и с двумя синусоидальными и косинусоидальными членами для учёта годовых и полугодовых сезонных циклов.

Частным случаем применения регрессии Пуассона с коррекцией на сверхдисперсность является алгоритм оценки ожидаемого показателя смертности, используемый Европейским проектом по мониторингу смертности (EuroMOMO) [81]. Базовый уровень смертности в данном случае моделируется с использованием 5-летних исторических данных о смертности с учётом коррекции на период возможных задержек регистрации случаев смерти, связанных с нерабочими днями. Метод коррекции задержек регистрации основан на предположении, что доля смертей, зарегистрированных за определённый период, пропорциональна количеству рабочих дней в данный период (неделя или месяц).

В целом для моделирования смертности в европейских странах используют подчиняющийся распределению Пуассона временной ряд, сочетающий тренд и, в некоторых случаях, цикличные колебания в виде синусоидального цикла с периодом в один год. Авторы применили допущение, что зимой и летом смертность может изменяться под воздействием дополнительных факторов, в основном связанных с зимними подъёмами заболеваемости инфекциями, такими как грипп, и периодами летней жары, что может приводить к ежегодному превышению смертности в данные периоды с переменной амплитудой. При этом весна и осень менее подвержены влиянию дополнительных факторов, приводящих к превышению смертности, поэтому базовый уровень данного показателя можно смоделировать, используя только эти периоды года, в результате чего ожидаемым уровнем может являться количество смертей в такие периоды, оцененное по историческим данным.

EuroMOMO предлагает 4 статистические модели, каждая из которых имеет некоторые отличительные особенности для лучшего соответствия конкретной половозрастной структуре населения. Тренд во всех моделях представлен либо прямой линией, либо линейным сплайном с двумя узлами, т.е. нелинейные тенденции могут быть смоделированы с помощью трёх различных линейных сегментов, соединяющихся в узлах. Сезонность моделируется синусоидальной кривой с периодом в один год, но для возрастных групп 0–4 года, 5–14 лет также может быть использована линейная модель без учёта сезонных колебаний. Для остальных возрастных групп наряду с линейным трендом показателя смертности следует учитывать сезонность. Указанные модели разработаны в виде дополнительных пакетов в программной среде R [81], что обеспечивает их свободное использование в исследовательской практике.

Адаптивное моделирование

Примером адаптивных моделей, используемых для прогнозирования ожидаемого уровня смертности, являются экспоненциальное сглаживание (exponential smoothing) и АРПСС/ARIMA (авторегрессия и проинтегрированное скользящее среднее/autoregressive integrated moving average) [76, 78, 82]. В большинстве работ, в которых использовались адаптивные модели прогнозирования, применялись модели на основе экспоненциального сглаживания [71–79]. При экспоненциальном сглаживании прогнозирование осуществляется на основе взвешенной комбинации предыдущих значений уровня смертности. Экспоненциальное сглаживание предполагает, что вес наблюдений убывает экспоненциально по мере их старения, т.е. последние (недавние) наблюдения используются в прогнозировании с бóльшим весом, чем отдалённые. Модель экспоненциального сглаживания может быть расширена для учёта тренда и сезонности. Тип модели экспоненциального сглаживания зависит от сезонности и характера тренда, присущего временнόму ряду, на основании которого строится прогноз. Если на графике не наблюдается увеличения или уменьшения значений ряда (нет тренда) и отсутствуют колебания, повторяющиеся с определённой периодичностью (нет сезонности), используют простое экспоненциальное сглаживание. Формула модели в данном случае имеет следующий вид:

S_(t)=α×y_(t)+(1–α)×S_(t–1),

а предсказанное значение в момент времени, отстоящий на х шагов вперёд, равно y_(t+х)=S_(t). В приведённом уравнении y_(t) — значение исходного временнόго ряда в момент времени t; S_(t–1) — сглаженное значение ряда в момент времени (t–1); α — сглаживающий параметр для уровня ряда, варьирующий от 0 и 1 (чем ближе α к 1, тем больший вес имеют текущие наблюдения в сравнении с предшествующими значениями); S_(t) — сглаженный уровень ряда в момент времени t. При наличии линейного тренда используются модели Брауна и Хольта, а при наличии сезонности — простая сезонная модель. Экспоненциальное сглаживание с применением модели Хольта–Уинтерса позволяет учитывать как наличие тренда, так и сезонность, поэтому авторы проанализированных публикаций чаще всего при оценке ожидаемой смертности использовали именно этот подход [72–79]. Важно отметить, что методы экспоненциального сглаживания дают наилучшие результаты при прогнозировании на короткий интервал времени.

Модели АРПСС в свою очередь могут учитывать влияние предикторов, обеспечивая более точный прогноз. В их основе лежит предположение, что вариация ожидаемого уровня смертности определяется следующими компонентами: авторегрессия, интегрирование и дифференцирование, а также скользящее среднее. Модель АРПСС может включать любой из вышеперечисленных компонентов как для сезонной, так и для несезонной составляющих. При прогнозировании значений временнóго ряда важно помнить, что факторы и среда, определяющие тренд в прошлом, могут измениться в будущем, поэтому в авторегрессии для прогнозирования ожидаемого уровня смертности (зависимая переменная) в качестве предикторов используются предсказанные значения уровня смертности (та же зависимая переменная), взятые с лагом (временны́м сдвигом). Значения зависимой переменной с лагами позволяют объяснить часть текущих вариаций прогнозируемых значений. Порядок авторегрессии является интервалом времени между зависимой переменной и зависимой переменной с лагом, используемой в качестве предиктора. Период времени (размер лага) определяется исследователем. В большинстве случаев он рассчитывается как число точек в одном временнόм ряде, делённое на 4. Например, в случае временнόго ряда, содержащего помесячные значения смертности за 12 мес, число точек будет равняться 12, а лаг составит 3 мес. Если на зависимую переменную влияет зависимая переменная с лагом, равным одному периоду времени (в нашем примере — 3 мес), то такая модель авторегрессии имеет 1 порядок. Таким образом, значение зависимой переменной в предыдущий момент времени (t–1) является хорошим индикатором/предиктором значения зависимой переменной в настоящий момент времени t. Если хорошим предиктором зависимой переменной служит зависимая переменная, взятая два периода назад (в нашем примере — 6 мес), то процесс ауторегрессии имеет порядок 2 и так далее. Уравнение простой авторегрессионной модели можно представить как

y_(t)= Ф₁×y_(t–1)+e_(t)+a,

где значение уровня смертности в определённый период времени — y_(t) — равно: 1) сумме предыдущего значения временного ряда — y_(t–1), умноженного на взвешивающий коэффициент Ф₁; 2) среднего значения ряда a и 3) ошибки в текущий момент времени e_(t).

Зависимая переменная в модели АРПСС должна быть стационарной, чтобы удовлетворять условиям применения данного метода. Стационарный ряд обладает следующими характеристиками: 1 — постоянный средний уровень, 2 — дисперсия постоянна для всего ряда. Следовательно, если величина сезонных колебаний ряда увеличивается/уменьшается с течением времени, то данный ряд не является стационарным. Помимо этого, если структура взаимосвязей значений ряда имеет порядок 2, то предполагается, что это верно для всего ряда. Нарушение условия стационарности затрудняет определение вариации зависимой переменной. Если среднее значение ряда меняется с течением времени, то выявленные взаимосвязи окажутся искажёнными. В этом случае используется компонент дифференцирования в модели АРПСС, который позволяет исключить тренд и сформировать стационарный ряд, а последующее интегрирование (обратная операция), выполняемое при построении прогноза, возвращает тренд назад.

Компонент скользящего среднего модели АРПСС отличается от авторегрессии тем, что в качестве независимой переменной вместо значений зависимой переменной с лагами используются значения ошибки модели с лагами. Формулу скользящего среднего можно записать как:

y_(t)=Ф₁×e_(t–1)+e_(t)+a,

где значение уровня смертности в определённый период времени y_(t) равно: 1) сумме ошибки модели в предыдущий момент времени e_(t–1), умноженной на взвешивающий коэффициент Ф₁; 2) среднего значения ряда a и 3) ошибки в текущий момент времени e_(t).

Компонент скользящего среднего позволяет учитывать шумы (например, непредвиденные изменения окружающей среды), которые влияют на описываемую временны́м рядом закономерность. Порядок скользящего среднего задаётся длиной лага между учитываемой ошибкой и зависимой переменной. Если на зависимую переменную влияет ошибка модели с лагом в один период, то это процесс скользящего среднего первого порядка. Данный факт свидетельствует о том, что ошибка модели в предыдущем периоде связана с текущим значением зависимой переменной.

Для прогнозирования значений ожидаемой смертности в модели АРПСС можно учитывать влияние предикторов как в определённый момент времени, так и с опережением или лагом. Несколько предикторов могут быть включены в модель с различными временны́ми лагами. Простейший пример множественной модели АРПСС выглядит следующим образом:

y_(t)=b₁×х_(t–1)+e_(t)+a,

где значение уровня смертности в определённый период времени y_(t) равно сумме: 1) значения ряда предиктора в предыдущий момент времени х_(t–1), умноженного на взвешивающий коэффициент b₁; 2) среднего значения ряда a; 3) ошибки в текущий момент времени e_(t).

Стоит отметить, что чаще всего авторы вручную подбирают параметры для используемых временны́х рядов и проводят расчёты в широко используемых программах статистического анализа (например, R) для отдельных государств и регионов. При этом в большинстве проанализированных нами работ не приводится алгоритмов, позволяющих определить параметры моделей в автоматическом режиме.

Комбинация и сравнение методов

В некоторых случаях исследователи использовали сразу несколько методов моделирования и оценки ожидаемого числа смертей/смертности. Так, J.M. Aburto и соавт. [83] при оценке избыточной смертности в Англии и Уэльсе использовали обобщённые аддитивные модели, предполагающие отрицательное биномиальное и пуассоновское распределение смертей за период исследования, которые учитывали различные лог-линейные тренды смертности, стратифицированные по полу и возрасту, сглаженные эффекты для возраста и сезонности и взаимодействие между ними. Кроме того, исследователями была использована обобщённая линейная модель по типу регрессии Серфлинга. Особенностью данного исследования явилось также применение так называемых индикаторных переменных для систематических задержек в регистрации смерти наблюдаемых в недели, совпадающие с праздниками (недели 1, 22 и 52). В качестве альтернативы представленным выше методам авторы использовали средний уровень показателей смертности, наблюдаемых в каждую неделю в 2015–2019 гг.

Помимо классических моделей оценки и прогнозирования смертности с недавнего времени появляются работы, демонстрирующие потенциал машинного обучения для решения подобных задач, причём если в части работ машинное обучение применяется для совершенствования классических подходов, то в других прогнозирование осуществляется с помощью исключительно технологий искусственного интеллекта. Из использованных технологий можно перечислить глубокие и неглубокие свёрточные нейронные сети, «деревья решений», «случайный лес» и «градиентный бустинг» [84–86]. В отечественной литературе одной из первых таких попыток стала работа А.В. Гусева с соавт. [87], в которой использовались технологии Catboost для создания и сравнения краткосрочных предиктивных моделей смертности. Авторам удалось добиться уменьшения ошибки модели до 0,5% для 2019 года, но для 2020 года процент ошибки составлял 8–16%, причём характеристики регионов не увеличивали прогностической ценности моделей, что, как отмечают авторы, «указывает на невозможность точного прогнозирования с помощью Catboost в условиях резких изменений, таких как пандемия», и это вызывает необходимость поиска и тестирования альтернативных моделей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время в научной литературе встречается большое количество статистических моделей, позволяющих оценивать избыточную смертность исходя из моделирования демографических процессов на основе анализа исторических данных. Наиболее часто используемыми из них являются регрессия Пуассона с коррекцией на избыточную дисперсию и ряд адаптивных моделей, основанных на авторегрессии и проинтегрированном скользящем среднем. Выбор модели основывается на длительности имеющегося вариационного ряда, его характеристиках и интервале для прогнозирования. Для различных регионов, возрастных групп и классов причин смерти также применяются различные модели, что в настоящее время ограничивает вероятность использования универсального алгоритма для всех ситуаций и вместе с тем обосновывает необходимость разработки аналитических алгоритмов, способных определять наиболее подходящую модель для каждой конкретной ситуации. Использование технологий машинного обучения имеет большой потенциал для прогнозирования ожидаемых популяционных значений смертности, но эти технологии нуждаются в адаптации для ситуаций с резкими отклонениями от типичных паттернов.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. Все авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE. Е.А. Кригер — отбор литературы и её критическая оценка, качественный синтез информации, подготовка первой версии текста; В.А. Постоев — отбор литературы и её критическая оценка, качественный синтез информации, подготовка первой версии текста; А.М. Гржибовский — идея и дизайн исследования, подготовка финальной версии рукописи. Все авторы внесли существенный вклад в написание последующих версий статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Источник финансирования. Работа поддержана грантом Российского научного фонда № 22-15-20059.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Приложение 1. Основные аналитические подходы к оценке избыточной смертности на примере пандемии COVID-19. doi: 10.17816/humeco595937-4185856

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. All authors confirm that their authorship meets the international ICMJE criteria. E.A. Krieger — literature search and critical evaluation of papers, writing the first draft; V.A. Postoev — literature search and critical evaluation of papers, writing the first draft; A.M. Grjibovski — study concept and design, final editing. All authors drafted the first and subsequent versions of the text, read and approved the final version of the manuscript.

Funding source. The study was supported by a grant from the Russian Science Foundation (Project 22-15-20059).

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Supplement 1. Analytical approaches for assessing excess mortality during the COVID-19 pandemic. doi: 10.17816/humeco595937-4185856

About the authors

Ekaterina A. Krieger

Northern State Medical University

Author for correspondence.
Email: kate-krieger@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5179-5737

md, cand. sci. (med.), mph, associate professor

Russian Federation, Arkhangelsk

Vitaly A. Postoev

Northern State Medical University

Email: ispha@nsmu.ru
ORCID iD: 0000-0003-4982-4169

md, cand. sci. (med.), mph, phd, associate professor

Russian Federation, Arkhangelsk

Andrej М. Grjibovski

Northern State Medical University; Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov

Email: a.grjibovski@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-5464-0498
Russian Federation, Arkhangelsk; Arkhangelsk

References

Supplementary files